Saturation y radical de Jacobson

Question

Esta pregunta fue hecha en mi tarea sobre geometría algebraica y necesito ayuda en ella.

Sea A un anillo conmutativo. Un subconjunto S cerrado bajo multiplicación en A se llama saturado si para todo $a,b \in A$, $ab\in S$ implica que $a\in S$ y $b\in S$. Define $\bar{S} =${$ a\in A| \exists b\in A$ tal que $ab \in S$} como la saturación de S.

(a) Sea A' un ideal en A y sea $S_{A'}=1+ A' = ${$1+a' | a\in A'$}. Entonces demuestra que S es un conjunto cerrado bajo multiplicación en A.

Lo he hecho.

(b) ¿Cuál es la saturación $\bar{S}_{A'}$ del conjunto cerrado bajo multiplicación $S_{A'}$?

Trabajo: Creo que $S_{A'} = ${$a' \in A' | \exists b \in A' $ tal que $a'b\in S_{A'} $}.

Por lo tanto, el conjunto saturado es todo $a'\in S_{A'}$ tal que $ \exists b\in S_{A'}$ tal que a'b =1+a'' $a'' \in S_{A'}$ . No creo que sea posible una simplificación adicional.

¿Estoy en lo correcto?

(c) Demuestra que $A'S_{A'}^{-1} A\subseteq M_{S_{A'}^{-1} A}$\= radical de Jacobson de $S_{A'}^{-1} A$.

Tengo que demostrar que $A'S_{A'}^{-1} A $ está contenido en todo ideal maximal de $S_{A'}^{-1} A$.

Supongamos que existe un ideal maximal M que no contiene $A'S_{A'}^{-1} A $. ¿Cuál sería la contradicción?

Por favor ayuda.

¡Gracias!

Answer 1

Ambos están enredados:

Creo que $S_{A'} = ${$a' \in A' | \exists b \in A' $ tal que $a'b\in S_{A'} $}.

Entonces, el conjunto saturado es todo $a'\in S_{A'}$ tal que $ \exists b\in S_{A'}$ tal que $a'b =1+a''$[, donde] $a'' \in S_{A'}$ .

Te equivocaste en tu definición dos veces seguidas. Debería leer

Creo que $\bar S_{A'} = \{a \in A | \exists b \in A \text{ tal que }ab\in S_{A'} \}$.

y

Así, el conjunto saturado es todo $a\in A$ tal que $ \exists b\in A$ tal que $ab =1+a'$[, donde] $a' \in A'$ .

Dado este último, tienes $ab-1\in A'$, y no veo ninguna otra mejor explicación que

$\bar S_{A'}$ es el conjunto de todos $a\in A$ tal que $a+A'$ es una unidad en $A/A'$.

Es curioso que esto suceda pero ahora recuerdo una anécdota de Arhangelskii donde contaba sobre un matemático con la desafortunada costumbre de usar $A$ para todo: $a$, $A$, $\alpha$, $\mathfrak A$, $\mathscr A$ con varios diacríticos o subíndices.

La próxima vez, utiliza $R$ y $I\lhd R$ por favor en lugar de $A'\lhd A$.

Para $c$, basta con usar la caracterización del radical de Jacobson como el conjunto de todos los elementos $x$ tal que $xr-1$ es una unidad para cada $r$ en el anillo.

Con ese fin, mira algo de esa forma: $\frac{i}{j+1}\frac{r}{k+1}-1$ donde $i, j, k\in I$ y $r\in R$.

Si escribes $\frac{i}{j+1}\frac{r}{k+1}=\frac{ir}{m+1}$ con $m\in I$, entonces $\frac{ir}{m+1}-1=\frac{ir-m-1}{m+1}$ es una unidad si $ir-m-1$ es una unidad.

Deberías poder continuar desde ahí...