Determinar el valor de una integral utilizando métodos complejos

Question

Necesito encontrar el valor de la siguiente integral utilizando análisis complejo:

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(k_1\ x)+\sin(k_2\ x)}{x^2-a^2}\ dx$$ donde $k_1, k_2, a$ son coeficientes reales.

Los polos son obviamente $\pm a$, ¿debería aplicar el teorema del residuo a continuación?

Obtengo la respuesta $0$ (que debería ser correcta porque la función es par) en un par de pasos, pero nunca utilicé la condición de que los coeficientes son reales y no estoy seguro si la contorno de integración que elegí es correcto.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Para empezar, la integral no converge cerca de $a$ y $-a$. Puedes tomar el Valor Principal de Cauchy, pero eso no es lo mismo que converger. El Valor Principal de Cauchy es $0$, por cierto, y eso es porque el integrando es impar.