¿Cuál es la Dirección de un Cero (Null) Vector?

Question

Para ser más precisos, estoy interesado en saber si la intuición de que un Euclidiana vector cero no tenemos una dirección particular es realmente correcto, y si hay una rigurosa formulación que la copia de seguridad.

De Wikipedia, entradas en el vector cero parece estar de acuerdo con que la intuición, pero como siempre, uno no debe confiar ciegamente en la Wikipedia: en un lugar, se dice que un vector cero "es ortogonal a todos los otros vectores con el mismo número de componentes," mientras que en otro, se afirma que "dos vectores puede ser considerado ortogonal si y sólo si su producto escalar es cero, y que no nulos de longitud." Corrígeme si me equivoco, pero estas dos declaraciones se contradicen unos a otros.

Esta pregunta apareció en mi cabeza cuando oí que alguien me argumentando que desde un Euclidiana del vector se define como una entidad geométrica que tiene una magnitud y una dirección, y desde cero vector es un vector con longitud 0, luego es de lo más adecuado para un vector cero para tener una "dirección 0." Personalmente, estoy inclinado a decir que un vector cero no tenemos una dirección particular, pero como ya he dicho, me gustaría saber si hay una rigurosa formulación que conducen a esta conclusión.

Y para poner la pregunta en una forma menos "discusión de inducción de la" forma, existe un acuerdo sobre la dirección de un Euclidiana vector cero?

Answer 1

El vector cero no tiene ninguna dirección en particular; esto es consistente con el hecho de que es ortogonal a cada vector. (Que en realidad no tiene sentido decir que ha "dirección 0", ya que la dirección no es una magnitud; "dirección 0" no tiene sentido más que el de "dirección 1" o "dirección 5.873".)

Alternativamente, se podría decir que los puntos en cada dirección, pero con cero magnitud, ya que si usted toma cualquier vector y se multiplica por cero, se obtiene el vector cero. "Cada dirección" es lo mismo que "sin una dirección en particular"; es simplemente una forma diferente de fraseo cosas.

Este es un defecto con la tradicional descripción de un vector como un par consistente de una magnitud y una dirección: el vector cero, la magnitud es cero, pero la dirección es arbitrario.

Answer 2

Desde agregando el vector cero de la no-vector cero no cambia la dirección de este último, no se puede tener una dirección correcta debido a la regla del paralelogramo :-)

Answer 3

Sólo una observación: hay algunos básicas relevantes en la topología algebraica aquí.

Como Matt E señala en su respuesta, la "dirección" de un vector $v \in \mathbb{R}^n$ no es un número. Entonces, ¿qué es? Una respuesta natural es que una dirección es un elemento de la unidad de la esfera de $S^{n-1} = {(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n \ | \ x_1^2 + \ldots + x_n^2 = 1 }$.

A continuación, el mapa, decir $D$, que asigna a cada $v \in \mathbb{R}^n \setminus {0}$ a su dirección, a la dirección de $D(v) = \frac{v}{||v||} \in S^{n-1}$ es una deformación de retracción. De ello se desprende que $\mathbb{R}^n \setminus {0}$ tiene el mismo homotopy tipo como la esfera de $S^{n-1}$. En particular, $\mathbb{R}^n \setminus {0}$ no tiene el mismo homotopy como $\mathbb{R}^n$, es decir, no es contráctiles. Esto puede ser tomado como una precisión de la idea de que no hay forma natural de extender $D$ así como a definir en el vector cero. (Para el caso, hay evidentemente no continua extensión de $D$$\mathbb{R}^n$, ya que el $D$ es surjective en cualquier eliminado barrio de $0$.)

Tenga en cuenta también que cualquier algebraicas aparejador inevitablemente recuerda proyectiva del espacio, en el que el vector cero debe ser excluido por razones similares. En este contexto, el (real) proyectiva $n-1$-espacio se obtiene por no distinguir entre las direcciones de $v$$-v$. Topológicamente, esto equivale a tomar un cociente de $S^{n-1}$ mediante la identificación de antipodal puntos.

Answer 4

En primer lugar, necesitamos una definición de la dirección.

Qué tal esta: la dirección de un vector $x$ es un vector $u$ de la longitud de unidad (es decir, $|u| = 1$) tal que $cx = u$ para algún número real positivo $c$.

De acuerdo a la definición, es claro que si $x = 0$, entonces no existe no $c$ tal que $cx$ es un vector unitario.

También, es claro que la dirección de la $d(x)$ de un vector $x$ es una función de mapeo $x$ a un vector unitario. Para cualquier $x$, el coeficiente de $c$ es sólo $\frac{1}{|x|}$, y por lo que la función es este: $$d(x) = \frac{x}{|x|}$$.

Es claro que la función no está definida en $x = 0$, donde se invoca la división por cero.