¿Se ha demostrado que la suma de potencias es mayor que la potencia de la suma?

Question

Me disculpo si el título es confuso, pero básicamente solo quiero saber si existe una prueba aceptada y rigurosa de la desigualdad discutida en esta pregunta.

Parecería que tendría que ser cierto que dado $k \geq 1$ y $a_{i} \geq 0$, tendremos que:

$\sum_{i=0}^{n}a_{i}^{k} \leq (\sum_{i=0}^{n}a_{i})^{k}$,

pero estoy teniendo problemas para encontrar una prueba definitiva por mí mismo que funcione para cualquier $k \geq 1$, independientemente de si es un número entero o no, y no he podido encontrar ninguna prueba publicada para esta desigualdad a pesar de pasar una cantidad significativa de tiempo buscando una.

La respuesta aceptada a la pregunta que mencioné anteriormente parece completamente razonable, pero ciertamente no es rigurosa. A esto se suma el hecho de que no puedo encontrar una prueba rigurosa de esta desigualdad, o incluso cualquier discusión al respecto en ningún otro lugar en internet, a pesar de pasar más de una hora leyendo los artículos de todas las desigualdades significativas y/o nombradas en wolfram mathworld y wikipedia, y mi confianza en que esta desigualdad es válida no es muy alta.

¿Alguien puede proporcionar alguna idea sobre esto, o indicarme una fuente que diga algo definitivo sobre esta desigualdad de una forma u otra? Estoy especialmente interesado en los casos en los que $k$ no es un entero.

Answer 1

Deje $\lambda = \sum\limits_{i=0}^n a_i$. Si $\lambda = 0$, todos los $a_i = 0$ y la desigualdad es trivialmente verdad.

Sin pérdida de generalidad (WOLOG por sus siglas en inglés), asumamos que algún $a_i > 0 \implies \lambda > 0.

Para cualquiera $i = 0, 1,\ldots, n$, dejemos que $\displaystyle\;b_i = \frac{a_i}{\lambda}$, entonces $\;b_i \in [0,1] \implies b_i^k \le b_i$.

Junto con $\sum\limits_{i=0}^n b_i = 1$, obtenemos

$$\sum_{i=0}^n a_i^k = \lambda^k \sum_{i=0}^n b_i^k \le \lambda^k \sum_{i=0}^n b_i = \lambda^k = \left(\sum_{i=0}^n a_i\right)^k$$

Answer 2

Si escribes $$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\left(\sum{x_i}\right)^k-\sum{x_i^k},$$ entonces $f(0,0,...,0)=0$ y es fácil mostrar que todas las derivadas parciales de primer orden $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ son estrictamente positivas cuando $k>1.$ De hecho,$$ \frac{\partial f}{\partial x_j}=k\left(\left(\sum{x_i}\right)^{k-1}-x_j^{k-1}\right)>0$$ cuando $x_i>0 \forall i$.

Porque $g(x)=x^{k-1}$ para $k>1, x>0$ es una función creciente y $\sum x_i > x_j\; \forall j$ ya que $x_i>0\;\forall i$

Answer 3

Si puedes demostrar que $a^k+b^k\le(a+b)^k$ para $a$, $b>0$, entonces el caso general sigue por inducción. Esto es lo mismo que $t^k+(1-t)^k\le1$ para $01$. Por lo tanto, en $[0,1]$, $t^k+(1-t)^k\le1.