Cortar una barra de 1 metro, ¿cuál es la longitud esperada?

Question

No puedo entender 2 cosas en este problema:

1. ¿Por qué es $f_X (x)$ = 1, debería no ser 1/x porque cada punto tiene la misma probabilidad de ser cortado. ¿Significa eso que cada punto tiene P=1 de ser cortado? Sin embargo, la función de distribución acumulativa en [0,1] parece ser 1, lo cual está bien. edit: olvídalo, lo entendí, 1/x donde x=1m es 1...

2. ¿Cómo es que el valor esperado no es 0.5m? Si cada punto tiene la misma probabilidad de ser cortado, entonces es razonable elegir la media, que es 0.5m. Sin embargo, la respuesta es 0.75. No estoy seguro si es porque la pregunta pide "la longitud de la pieza más larga".

Answer 1

1) La función de densidad de probabilidad siendo constante es la señal reveladora de que la distribución es uniforme sobre cualquier intervalo considerado. Ser constante significa que cada punto tiene la misma probabilidad (densidad) de ser elegido, lo cual es intencionado. El valor de la constante se determina luego para asegurarse (como escribiste) de que la integral sobre todo el intervalo considerado sea $1$.

2) El valor esperado para, digamos, la primera pieza es realmente $0.5m$. La clave es (como escribe) que se pide la pieza más larga. La pieza más larga debe tener al menos una longitud de $0.5m$, porque si fuera más corta, entonces la otra pieza sería aún más corta, y juntas no pueden tener una longitud total de $1m$.

Answer 2

La pieza más larga tiene una longitud uniforme en $[0.5,1]$ (y la más corta uniforme en $[0,0.5]$).

La expectativa de la longitud más larga es el punto medio del rango,

$$\frac{0.5+1}{2}.$$