Preguntas sobre la ecuación funcional $B (t, T) = c (t) B^2 (t, T)$ que surge de ciertas ecuaciones diferenciales

Question

Estamos analizando un teorema que caracteriza los modelos de estructura temporal afín (ats) en la teoría de tasas de interés. Lo que sigue es de "Filipovic, D. (2009): "Term-structure models: A graduate course", Springer-Verlag", capítulo 5, página 84.

Denotamos por $F(t,r,T)$ el precio del bono y decimos que es de (ats) si y solo si $$F(t,r,T)=e^{-A(t,T)-B(t,T)r}$$ para funciones suaves $A$ y $B$. $r$ denota la tasa de interés y es un proceso estocástico. Entonces el teorema establece

un modelo de tasa corta de la forma $$\mathrm dr(t)=b(t,r)\mathrm dt+\sigma(t,r)\mathrm dW(t)\tag{*}\label{*}$$ para $b$ y $\sigma$ continuos proporciona ats si y solo si $$\sigma^2(t,r)=a(t)+\alpha(t)r \text{ y } b(t,r)=b(t)+\beta(t)r$$ para funciones continuas $a$, $\alpha$, $b$ y $\beta$, y las funciones $A$ y $B$ satisfacen el sistema de EDO, para todo $t\le T$: $$\partial_tA(t,T)=\frac{1}{2}a(t)B^2(t,T)-b(t)B(t,T), \, A(T,T)=0$$ $$\partial_tB(t,T)=\frac{1}{2}\alpha(t)B^2(t,T)-\beta(t)B(t,T)-1, \, B(T,T)=0$$

El punto clave de la prueba es que $F$ debe satisfacer la siguiente ecuación $$ \partial_t F+b\partial_rF+\frac{1}{2}\sigma^2\partial_{rr}F-rF=0\tag{1}\label{1}$$ donde $b,\sigma$ son de \eqref{*}. Para la prueba, se coloca la fórmula explícita de $F$ en \eqref{1}, vemos que el modelo de tasa corta proporciona un ats si y solo si $$\frac{1}{2}\sigma^2B^2-bB=\partial_tA+(\partial_tB+1)r \tag{2}\label{2}$$ donde escribí $B$ para $B(t,T)$ y lo mismo para $A$. Sobre la ecuación anterior, la dirección "$\Leftarrow$" está probada. Para la dirección "$\Rightarrow$", primero asumen que $B$ y $B^2$ son linealmente independientes para $t$ fijo y muestran la afirmación. Después, el único caso que ahora debemos analizar es $$B(t,T)=c(t)B^2(t,T)\tag{3}\label{3}$$ para alguna constante $c(t)$. Supongo que también fijamos aquí $t$. Luego concluyen las siguientes cosas, que no entiendo: \eqref{3} debería implicar que $B(t,\cdot)=B(t,t)=0$. ¿Por qué es eso cierto? A partir de ahí, dicen, bueno entonces \eqref{2} implica que $\partial_tB(t,T)=-1$. Tampoco entiendo esa conclusión.

En conclusión, afirman que el conjunto de elementos $t$, para los cuales $B(t,\cdot)$ y $B^2(t,\cdot)$ son linealmente independientes, es abierto y denso en $\mathbb{R}_+$.

No tengo idea de cómo se pueden deducir todas estas cosas. Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que $B(t,T) = c(t)B^2(t,T)$ para algún $t$. Dado que esto debe cumplirse para todo $T \geq t$, tenemos que $B(t,T) = B(t)$ es una constante independiente de $T$. Si revisas el libro que mencionaste, también notarás que allí $B(T,T) = 0$ para todo $T$ (como consecuencia de la normalización en $F$). Por lo tanto, en realidad tenemos que $B(t,T) = 0$ para todo $T$. Inspeccionando la parte $r$ de $(2)$ se sigue que $\partial B(t,T) = -1$ para todo $T.

Juntando todo esto, si $B$ y $B^2$ son linealmente dependientes para algún $t$, la función $B(t,T)$ tiene un cero aislado en $t$ para todo $T$. Por lo tanto, el conjunto de $t$ donde $B$ y $B^2$ son linealmente independientes es abierto (es una unión de intervalos abiertos entre ceros aislados) y denso (ya que los ceros están en los límites de esos intervalos abiertos). Finalmente, dado que todo está en continuo, puedes extender los resultados del caso donde $B$ y $B^2$ son independientes a todo $t$.

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EDITAR: En cuanto a por qué los ceros son aislados. Ilustremos esto con un ejemplo simple de la función $f(t) = -t$. Tenemos que $f(0) = 0$ y $\partial_t f(t) = -1$. El cero en este ejemplo es trivialmente aislado, ya que es el único cero de $f$. Pero la situación también se aplica para todo $T$ a $B(\cdot, T)$ a partir de la discusión anterior: cerca de $t$ se verá como $f$ alrededor de $0$, es decir, como una línea recta con pendiente negativa. Por lo tanto, debería quedar claro que no hay otro cero en algún vecindario de $\epsilon$.

Tal vez también sería útil ilustrar con un contraejemplo de una función que también tiene un cero no aislado. Por ejemplo, $f(x) = xsin(1/x)$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0$. Pero tal función necesariamente no es suave (lo cual es $B$, por lo tanto no puede tener un cero no aislado).

En cuanto a la densidad. Decimos que un subconjunto $A \subset B$ es denso si la clausura $\bar A = B$. En nuestro caso, $B$ es un intervalo cerrado de $\mathbb R$ y $A = B \setminus Z$ donde $Z$ es el conjunto de ceros. Por lo tanto, es suficiente demostrar que cada cero está en la clausura de $A$. Pero esto es inmediato a partir de la discusión anterior, ya que si $t$ es un cero entonces hay un $s$ tal que el intervalo $(s,t) \subset A$ no contiene un cero. Además, la clausura de $ {(s,t)}$ es $[s,t] $, es decir, $t$ pertenece a la clausura de $A$. Por lo tanto, la clausura de $A$ contiene a $Z$ y por lo tanto es igual a $B$, como se quería demostrar.