Para encontrar el orden de $ G ∩ H $.

Question

Considere el grupo multiplicativo $S = \{z : |z| = 1\} \Bbb C$. Sea $G$ y $H$ subgrupos de orden $8$ y $10$ respectivamente, entonces para encontrar el orden de $G H.

$o(G H)$ debe dividir tanto a $o(G)$ como a $o(H)$ y por lo tanto dividir a $\gcd(8,10) = 2$.

Tengo confusión sobre el orden de $G H. ¿Será $1$ o $2$?

Answer 1

Como has visto, el orden de $G \cap H$ es 1 o 2. Vamos a demostrar que es 2. Para verlo, nota que $S$ es abeliano, por lo que $G,H$ también son abelianos.

Hay dos grupos abelianos de orden 10: $Z_{10}$ y $Z_{2} \times Z_{5}$. El elemento de orden 2 está en $Z_{10}$ y $Z_{2} \times Z_{5}$, por lo que el elemento de orden 2 está en $G < S$. Solo hay un elemento de orden 2 en $S$ - es $-1$, por lo que $-1 \in G.

A continuación, considera el grupo $H$. El orden de cualquier elemento en ese grupo divide a 8, por lo que cualquier elemento de ese grupo es una raíz $2, 4$ o $8$ de la unidad. Elige cualquier elemento $z \in H:

Si $z$ es una raíz 2 de la unidad, entonces $z=-1$, Si $z$ es una raíz 4 de la unidad, entonces $z^2=-1$, Si $z$ es una raíz 8 de la unidad, entonces $z^4=-1

por lo tanto, $-1 \in H$. Así que $-1 \in G \cap H