He estado intentando demostrar la siguiente desigualdad pero las raíces cuadradas realmente me están costando mucho trabajo. $$ x \cdot (\sqrt{4-x^2} +2x -\sqrt2)\leq\sqrt{-(x^2-4x+2)(x^2+4x+2)} $$ para $ 1 \leq x\leq\sqrt2$. Considerando ambos lados como una función y usando WolframAlpha, encontré los puntos de intersección $ x= \frac{\sqrt2}{2} $ y $ x=\sqrt2 $ pero no pude demostrar que no hay otro punto de intersección dentro de este intervalo. Dado que las derivadas también son bastante complicadas, estoy atascado.
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Sea $P := -(x^2 - 4x + 2)(x^2 + 4x + 2) = (4x)^2 - (x^2 + 2)^2$.
Basta con demostrar que $$x(\sqrt{4 - x^2} - \sqrt 2) \le \sqrt{P} - 2x^2$$ o $$x\cdot \frac{2 - x^2}{\sqrt{4 - x^2} + \sqrt 2 } \le \frac{P - (2x^2)^2}{\sqrt{P} + 2x^2}$$ o $$x\cdot \frac{2 - x^2}{\sqrt{4 - x^2} + \sqrt 2 } \le \frac{(2 - x^2)(5x^2 - 2)}{\sqrt{P} + 2x^2}.$$
Dado que $\sqrt{4 - x^2} + \sqrt 2 \ge \sqrt{4 - 2} + \sqrt 2 > 2$ y $$P \le (4x)^2 - 4 \cdot x^2 \cdot 2 = 8x^2 \le 9x^2,$$ basta con demostrar que $$x\cdot \frac{2 - x^2}{2} \le \frac{(2 - x^2)(5x^2 - 2)}{3x + 2x^2}$$ o $$x/2 \le \frac{5x^2 - 2}{3x + 2x^2}$$ o $$-2x^3+7x^2-4 \ge 0$$ o $$(x-1)(-2x^2+5x+5) + 1 \ge 0$$ lo cual es cierto.
Hemos terminado.
