Generalización de la suma de potencias y progresión aritmética

Question

Un amigo mío ha encontrado una fórmula para la suma $\sum \limits_{i=0}^{n-1} (a + d * i )^k$ dado $k,n \in \mathbb{N}$ y $a,d \in \mathbb{R}$.

Él la verificó para muchos valores, y un profesor en la BGU la comprobó.

La fórmula que encontró es recursiva, así que dejando $$p(a,d,k,n) = \sum \limits_{i=0}^{n-1} (a + d * i )^k$$ el paso recursivo es en $k$ y está preguntando si hay una fórmula recursiva en esta forma conocida por la comunidad matemática??

En esta forma: $$p(a,d,k,n) = f(a,d,k,n)+\sum \limits_{i=0}^{n-1}p(a,d,k-i,n) g(a,d,k,n,i)$$

Donde $f,g$ son funciones simples que consisten solo de factoriales y potencias (mucho más simples que los números de Bernoulli o los números de Stirling).

Cualquier referencia a una fórmula existente sería más que útil.

Gracias.

Answer 1

Tenemos que $$ \eqalign{ & p(a,d,k,n) = \sum\limits_{i=0}^{n-1} {(a+di)^{\,k} } = \sum\limits_{i=0}^{n-1} {(a+di)(a+di)^{\,k-1} } = \cr & = a\sum\limits_{i=0}^{n-1} {(a+di)^{\,k-1} } + d\sum\limits_{i=0}^{n-1} {i\;(a+di)^{\,k-1} } \cr} $$ y aplicando el Summation by parts a la segunda suma, obtenemos $$ \eqalign{ & \sum\limits_{i=0}^{n-1} {i\;(a+di)^{\,k-1} } = \,\left( {n-1} \right)p(a,d,k-1,n) + p(a,d,k-1,0) - \sum\limits_{i=0}^{n-1} {p(a,d,k-1,i)} = \cr & = \,\left( {n-1} \right)p(a,d,k-1,n) - \sum\limits_{i=0}^{n-1} {p(a,d,k-1,i)} \cr} $$ es decir, $$ p(a,d,k,n) = \left( {a+d\left( {n-1} \right)} \right)\,p(a,d,k-1,n) - d\sum\limits_{i=0}^{n-1} {p(a,d,k-1,i)} $$

Iterar eso $k$ veces, para llegar a $p(a,d,0,n)$, proporcionará una recursión lineal en $p(a,d,k-j,n)$, con coeficientes que son polinomios en $a,d,n$.

Entonces, lamento decir que, aunque no sabiendo los detalles, no debería haber nada especial en el resultado de tu amigo.
Sin embargo, es muy apreciable si es nuevo en este campo.