Estudié hace mucho tiempo sobre los conjuntos de Cantor. Hoy, mientras se lo explicaba a uno de mis amigos, me quedé atascado en el complemento del conjunto de Cantor. Hasta donde yo sé, el complemento del conjunto de Cantor es la unión numerable de intervalos eliminados de $[0,1]$ para formar el conjunto de Cantor. Pero no puedo explicarle claramente por qué estamos eliminando solo un número numerable de intervalos abiertos de un tercio del intervalo $[0,1]$ para formar el conjunto de Cantor. En el primer paso estamos eliminando un tercio del intervalo del medio de $[0,1]$ y eso da lugar a dos intervalos. En el segundo paso estamos eliminando un tercio del medio de cada uno de los dos intervalos y así nos quedan cuatro intervalos. En el tercer paso estamos eliminando un tercio del medio de cada uno de los cuatro intervalos y así nos quedan ocho intervalos y en el siguiente paso debemos eliminar un tercio del medio de cada uno de los ocho intervalos y así sucesivamente. Entonces después del $n^{\text {th}}$ paso estamos eliminando $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n$ intervalos que ciertamente es mayor que $2^n.$ Dado que $2^{\aleph_0} = \mathfrak c,$ me parece que a medida que $n$ se acerca al infinito estamos eliminando al menos tantos intervalos abiertos como la cardinalidad del continuo $\mathfrak c.$
¿Dónde cometí consideraciones erróneas? ¿Podría alguien amablemente señalarlo?
Disculpen la pregunta tonta.