¿Cómo puede ser el complemento del conjunto de Cantor la unión enumerable de intervalos abiertos?

Question

Estudié hace mucho tiempo sobre los conjuntos de Cantor. Hoy, mientras se lo explicaba a uno de mis amigos, me quedé atascado en el complemento del conjunto de Cantor. Hasta donde yo sé, el complemento del conjunto de Cantor es la unión numerable de intervalos eliminados de $[0,1]$ para formar el conjunto de Cantor. Pero no puedo explicarle claramente por qué estamos eliminando solo un número numerable de intervalos abiertos de un tercio del intervalo $[0,1]$ para formar el conjunto de Cantor. En el primer paso estamos eliminando un tercio del intervalo del medio de $[0,1]$ y eso da lugar a dos intervalos. En el segundo paso estamos eliminando un tercio del medio de cada uno de los dos intervalos y así nos quedan cuatro intervalos. En el tercer paso estamos eliminando un tercio del medio de cada uno de los cuatro intervalos y así nos quedan ocho intervalos y en el siguiente paso debemos eliminar un tercio del medio de cada uno de los ocho intervalos y así sucesivamente. Entonces después del $n^{\text {th}}$ paso estamos eliminando $1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n$ intervalos que ciertamente es mayor que $2^n.$ Dado que $2^{\aleph_0} = \mathfrak c,$ me parece que a medida que $n$ se acerca al infinito estamos eliminando al menos tantos intervalos abiertos como la cardinalidad del continuo $\mathfrak c.$

¿Dónde cometí consideraciones erróneas? ¿Podría alguien amablemente señalarlo?

Disculpen la pregunta tonta.

Answer 1

La aritmética cardinal no funciona así. El hecho de que cada conjunto tenga una cardinalidad mayor que $2^n$ no es realmente importante, y ciertamente no se traduce a $2^{\aleph_0}$ en el infinito.

Todavía tenemos un conjunto finito en cada paso. Y la unión contable de conjuntos finitos es contable. En tu caso particular, infinito contable, es decir, $\aleph_0$. Y eso es independientemente de su tamaño concreto.

Answer 2

Aún no explícitamente señalado, el error que cometiste fue asumir que $\sup_{i∈ℕ} 2^{c_i} = 2^{\sup_{i∈ℕ} c_i}$ para cada secuencia de cardinales $(c_i)_{i∈ℕ}$. Ten cuidado de no intercambiar operaciones a menos que realmente se puedan intercambiar, como el supremo y la función de exponenciación real. Nota, por otro lado, que $\sup_{i∈ℕ} 2^{k_i} = 2^{\sup_{i∈ℕ} k_i}$ para cada secuencia estrictamente creciente de ordinales $(k_i)_{i∈ℕ}$. La exponenciación de ordinales es diferente de la exponenciación de cardinales; en particular $ω = 2^ω$.

Answer 3

Es posible que estés pensando demasiado en esto con la ecuación de cardinalidad establecida. Has descrito una enumeración de los intervalos abiertos. De hecho, dado que cada intervalo tiene un punto final izquierdo distinto que es un número racional, esto proporciona una inyección del conjunto de intervalos en los números racionales, demostrando así que el conjunto es numerable.

Pero podemos decir más si queremos. Después del primer paso, hay $1$, después del segundo paso, hay $2$ más para un total de $1 + 2 = 3$, y después del $n$-ésimo paso, hay $2^n - 1$ de ellos. Esta es una biyección de los naturales al conjunto de intervalos abiertos.

Si queremos hacerlo explícito, tenemos que escribir una enumeración por niveles del árbol binario completo infinito. Cada nodo del árbol en la profundidad $n-1$ corresponde a uno de los $2^{n-1}$ intervalos nuevos de tamaño $3^{-n}$ que eliminamos en el paso $n$. (Haz un dibujo, por ejemplo, del paso $n = 3$ con $2^2 = 4$ intervalos nuevos, cada uno de ancho $\frac{1}{27}$ si te resulta difícil visualizarlo)

La biyección toma un entero positivo $k$ y produce un intervalo $I_k = (a_k, b_k)$. Usando la observación de que el nodo/intervalo $I_k$ tendrá dos hijos $I_{2k}$ y $I_{2k+1}$, parece natural representar $k$ en binario: $$ k = \sum_{j=0}^{n-1} b_j \, 2^j $$ donde $2^{n-1} \leq k < 2^n$. El bit más significativo $b_{n-1} = 1$ se trata por separado. Los extremos son fáciles de describir: \begin{align} a_k &= \frac{1}{3^n}\biggl(1 + 2\sum_{j=1}^{n-1} b_{j-1} \, 3^j \biggr) \\ b_k &= \frac{1}{3^n}\biggl(2 + 2\sum_{j=1}^{n-1} b_{j-1} \, 3^j \biggr) \end{align}

Así, por ejemplo, con $n = 3$, los índices son $k$ tales que $4 \leq k < 8$ y los intervalos son: \begin{array}{cccc} k & b_2b_1b_0 & a_k & b_k \\ \hline 4 & 100 & \frac{1}{27} \bigl( 1 + 2(0 + 0) \bigr) = \frac{1}{27} & \frac{1}{27} \bigl( 2 + 2(0 + 0) \bigr) = \frac{2}{27} \\ 5 & 101 & \frac{1}{27} \bigl( 1 + 2(0 + 3) \bigr) = \frac{7}{27} & \frac{1}{27} \bigl( 2 + 2(0 + 3) \bigr) = \frac{8}{27} \\ 6 & 110 & \frac{1}{27} \bigl( 1 + 2(9 + 0) \bigr) = \frac{19}{27} & \frac{1}{27} \bigl( 2 + 2(9 + 0) \bigr) = \frac{20}{27} \\ 7 & 111 & \frac{1}{27} \bigl( 1 + 2(9 + 3) \bigr) = \frac{25}{27} & \frac{1}{27} \bigl( 2 + 2(9 + 3) \bigr) = \frac{26}{27}