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Tengo dos puntos rojos, r1r1 y r2r2, y dos puntos azules, b1b1 y b2b2. Todos se colocan aleatoria y uniformemente en $[0,1]^2.

Cada punto apunta al punto más cercano de otro color; lo más cercano se define con respecto a la distancia euclidiana. Usamos xyxy para indicar que el punto xx apunta al punto $y.

Si r1b1r1b1, ¿cuál es la probabilidad de que r2b1r2b1 también?

NOTA debe ser mayor que 1/2 porque r1b1r1b1 nos dice de cierta forma que b1b1 probablemente tiene una ubicación centrada, y por lo tanto es probable que también esté más cerca de r2r2 que $b_2.

3voto

Comenzando de la misma manera que Yanior Weg, asumimos b1b1 y b2b2 son fijos. Entonces P(r2b1|r1b1)=P(r2b1r1b1)P(r1b1)=P(r2b1r1b1)12=2P(r2b1r1b1)=2(P(r1b1))2P(r2b1|r1b1)=P(r2b1r1b1)P(r1b1)=P(r2b1r1b1)12=2P(r2b1r1b1)=2(P(r1b1))2

En este gráfico de Desmos, se puede ver la representación de esto (mencionaré esto más tarde, por lo que puede ser útil tenerlo abierto). P(r1b1)P(r1b1) es el área de la región sombreada dentro del cuadrado. Al limitar x2,y2x2,y2 de manera tal que x1<x2<1x1<x2<1, y1<y2<1y1<y2<1, los cálculos posteriores pueden simplificarse. La respuesta final es entonces 10101x11y142A2dy2dx2dy1dx1=810101x11y1A2dy2dx2dy1dx110101x11y142A2dy2dx2dy1dx1=810101x11y1A2dy2dx2dy1dx1, donde AA es el área de la región sombreada dentro del cuadrado. 2A22A2 se multiplica por 44 para tener en cuenta que x2yx2yy_2.

La línea que separa la región sombreada tiene la ecuación y=f(x)=x1x2y1y2x+(x1x2)(x1+x2)2(y1y2)+y1+y22y=f(x)=x1x2y1y2x+(x1x2)(x1+x2)2(y1y2)+y1+y22

Esto se intersecta con y=1y=1 en x=I1=(y1y2)(y1+y22)2(x1x2)+x1+x22x=I1=(y1y2)(y1+y22)2(x1x2)+x1+x22

y con y=0y=0 en x=I2=(y1y2)(y2+y1)2(x1x2)+x1+x22x=I2=(y1y2)(y2+y1)2(x1x2)+x1+x22

Ahora hay cuatro casos: (1) I1<0,I2<1, (2) I1<0,I2>1, (3) I1>0,I2<1(1) I1<0,I2<1, (2) I1<0,I2>1, (3) I1>0,I2<1, y (4) I1>0,I2>1(4) I1>0,I2>1.

Tomando F(x)=x0f(t)dt=x1x22(y1y2)x2+((x1x2)(x1+x2)2(y1y2)+y1+y22)xF(x)=x0f(t)dt=x1x22(y1y2)x2+((x1x2)(x1+x2)2(y1y2)+y1+y22)x aquí AiAi representa el área de caso ii:

A1=F(I2)A1=F(I2)

A2=F(1)A2=F(1)

A3=I1F(I1)+F(I2)A3=I1F(I1)+F(I2)

A4=I1F(I1)+F(1)A4=I1F(I1)+F(1)

Desde aquí, J=(1)A21dy2dx2dy1dx1J1+(2)A22dy2dx2dy1dx1J2+(3)A23dy2dx2dy1dx1J3+(4)A24dy2dx2dy1dx1J4, donde (1) es la región en x1,y1,x2,y2 tal que ocurre el caso 1 (restringido a 0<x1<x2<1 y 0<y1<y2<1), etc.

Para simplificar, hacer la sustitución xs=x2+x1,xd=x2x1 y ys=y2+y1,yd=y2y1 ayuda mucho. Luego, la integral necesitaría ser multiplicada por el Jacobiano de 14.

Para el caso 1, la integral se puede escribir como J1=14102xdxd(xd11xdxsxdxsyd+20A21dysdyd+2xdxdxsxd2xdxdxsyd0A21dysdyd2xdxdxs11xdxsyd0A21dysdyd)dxsdxd=132124ln(2)

Para el caso 2: J2=14102xdxd(xsxdxd2xsxdyd0A22dysdyd+1xsxd2yd0A22dysdyd2xdxdxsxd2xdxdxsyd0A22dysdyd12xdxdxsyd0A22dysdyd)dxsdxd=250114400380π245ln(2)

Para el caso 3: J3=14102ydyd(ydysyd2ydysxd0A23dxsdxd+1ydys2xd0A23dxsdxdyd(2ys)ydyd(2ys)xd0A23dxsdxd1yd(2ys)xd0A23dxsdxd)dysdyd=250114400380π245ln(2)

Para el caso 4: J4=1410xd11x2d2xd2+y2d2ydxd2yd2xdxdxsydA24dysdxsdyddxd+14102xdx2dxd2xdy2dxd2yd2xdxsydA24dysdxsdyddxd=95288+112π+18ln(2)

Sumando estos, obtenemos que J=39800+π120ln(2)180. Multiplicando por 8 da la respuesta final como 39100+π152ln(2)450.569, que está en el rango simulado que Arthur mencionó en los comentarios.

2voto

Yanior Weg Puntos 21

Según lo que has escrito, supongo que todos los puntos aleatorios en la pregunta se distribuyen de forma independiente.

Ahora, supongamos b1=(x1,y1) y b2=(x2,y2) están fijos. Así que para un punto aleatorio r1, distribuido de forma uniforme en [0;1]2, la probabilidad de que esté más cerca de b1 que de b2 es μ({(x,y)[0;1]2|(x1+x22x)(x2x1)+(y1+y22y)(y2y1)>0}), donde μ representa la medida de Lebesgue. Ahora, como r1 y r2 son independientes, entonces la probabilidad de que tanto r1 como r2 estén más cerca de b1 que de b2 es (μ({(x,y)[0;1]2|(x1+x22x)(x2x1)+(y1+y22y)(y2y1)>0}))2.

Ahora, como b1 y b2 también son independientes y se distribuyen de forma uniforme, podemos concluir que en nuestro problema inicial P(r2b1|r1b1)=10101010(μ({(x,y)[0;1]2|(x1+x22x)(x2x1)+(y1+y22y)(y2y1)>0}))2dx1dy1dx2dy210101010μ({(x,y)[0;1]2|(x1+x22x)(x2x1)+(y1+y22y)(y2y1)>0}))dx1dy1dx2dy2

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