Comenzando de la misma manera que Yanior Weg, asumimos b1b1 y b2b2 son fijos. Entonces P(r2→b1|r1→b1)=P(r2→b1⋂r1→b1)P(r1→b1)=P(r2→b1⋂r1→b1)12=2⋅P(r2→b1⋂r1→b1)=2(P(r1→b1))2P(r2→b1|r1→b1)=P(r2→b1⋂r1→b1)P(r1→b1)=P(r2→b1⋂r1→b1)12=2⋅P(r2→b1⋂r1→b1)=2(P(r1→b1))2
En este gráfico de Desmos, se puede ver la representación de esto (mencionaré esto más tarde, por lo que puede ser útil tenerlo abierto). P(r1→b1)P(r1→b1) es el área de la región sombreada dentro del cuadrado. Al limitar x2,y2x2,y2 de manera tal que x1<x2<1x1<x2<1, y1<y2<1y1<y2<1, los cálculos posteriores pueden simplificarse. La respuesta final es entonces ∫10∫10∫1x1∫1y14⋅2A2dy2dx2dy1dx1=8∫10∫10∫1x1∫1y1A2dy2dx2dy1dx1∫10∫10∫1x1∫1y14⋅2A2dy2dx2dy1dx1=8∫10∫10∫1x1∫1y1A2dy2dx2dy1dx1, donde AA es el área de la región sombreada dentro del cuadrado. 2A22A2 se multiplica por 44 para tener en cuenta que x2yx2yy_2.
La línea que separa la región sombreada tiene la ecuación y=f(x)=−x1−x2y1−y2x+(x1−x2)(x1+x2)2(y1−y2)+y1+y22y=f(x)=−x1−x2y1−y2x+(x1−x2)(x1+x2)2(y1−y2)+y1+y22
Esto se intersecta con y=1y=1 en x=I1=(y1−y2)(y1+y2−2)2(x1−x2)+x1+x22x=I1=(y1−y2)(y1+y2−2)2(x1−x2)+x1+x22
y con y=0y=0 en x=I2=(y1−y2)(y2+y1)2(x1−x2)+x1+x22x=I2=(y1−y2)(y2+y1)2(x1−x2)+x1+x22
Ahora hay cuatro casos: (1) I1<0,I2<1, (2) I1<0,I2>1, (3) I1>0,I2<1(1) I1<0,I2<1, (2) I1<0,I2>1, (3) I1>0,I2<1, y (4) I1>0,I2>1(4) I1>0,I2>1.
Tomando F(x)=∫x0f(t)dt=−x1−x22(y1−y2)x2+((x1−x2)(x1+x2)2(y1−y2)+y1+y22)xF(x)=∫x0f(t)dt=−x1−x22(y1−y2)x2+((x1−x2)(x1+x2)2(y1−y2)+y1+y22)x aquí AiAi representa el área de caso ii:
A1=F(I2)A1=F(I2)
A2=F(1)A2=F(1)
A3=I1−F(I1)+F(I2)A3=I1−F(I1)+F(I2)
A4=I1−F(I1)+F(1)A4=I1−F(I1)+F(1)
Desde aquí, J=∫(1)A21dy2dx2dy1dx1⏟J1+∫(2)A22dy2dx2dy1dx1⏟J2+∫(3)A23dy2dx2dy1dx1⏟J3+∫(4)A24dy2dx2dy1dx1⏟J4, donde (1) es la región en x1,y1,x2,y2 tal que ocurre el caso 1 (restringido a 0<x1<x2<1 y 0<y1<y2<1), etc.
Para simplificar, hacer la sustitución xs=x2+x1,xd=x2−x1 y ys=y2+y1,yd=y2−y1 ayuda mucho. Luego, la integral necesitaría ser multiplicada por el Jacobiano de 14.
Para el caso 1, la integral se puede escribir como J1=14∫10∫2−xdxd(∫xd1−√1−xdxs∫−xdxsyd+20A21dysdyd+∫√2xd−xdxsxd∫2xd−xdxsyd0A21dysdyd−∫√2xd−xdxs1−√1−xdxs∫yd0A21dysdyd)dxsdxd=132−124ln(2)
Para el caso 2: J2=14∫10∫2−xdxd(∫√xsxdxd∫2−xsxdyd0A22dysdyd+∫1√xsxd∫2−yd0A22dysdyd−∫√2xd−xdxsxd∫2xd−xdxsyd0A22dysdyd−∫1√2xd−xdxs∫yd0A22dysdyd)dxsdxd=250114400−380π−245ln(2)
Para el caso 3: J3=14∫10∫2−ydyd(∫√ydysyd∫2−ydysxd0A23dxsdxd+∫1√ydys∫2−xd0A23dxsdxd−∫√yd(2−ys)yd∫yd(2−ys)xd0A23dxsdxd−∫1√yd(2−ys)∫xd0A23dxsdxd)dysdyd=250114400−380π−245ln(2)
Para el caso 4: J4=14∫10∫xd1−√1−x2d∫2−xd2+y2d−2ydxd∫2−yd2xd−xdxsydA24dysdxsdyddxd+14∫10∫√2xd−x2dxd∫2−xdy2dxd∫2−yd2−xdxsydA24dysdxsdyddxd=−95288+112π+18ln(2)
Sumando estos, obtenemos que J=39800+π120−ln(2)180. Multiplicando por 8 da la respuesta final como 39100+π15−2ln(2)45≈0.569, que está en el rango simulado que Arthur mencionó en los comentarios.