Variable aleatoria para varianza

Question

Dada una medida distribuida binomial $P_\theta$, con parámetro $\theta\in (0,1)$ en $\Omega:=\{0,1,\ldots, n\}$. Quiero encontrar una variable aleatoria

$$R: \Omega\rightarrow \mathbb{R},\quad R(x):=?$$

tal que

$$E_\theta[R]=\theta(1-\theta).$$

Entonces mi primera pista fue utilizar la idea de que

$$Var_\theta[x]=E_\theta[x^2]-E_\theta[x]^2=n\theta(1-\theta).$$

Entonces me gustaría usar algo como

$$R(x):=\frac{1}{n}(x^2-x)$$

pero esto solo da como resultado

$$E_\theta[R]=\frac{1}{n}(E_\theta[x^2]-E_\theta[x]),$$

por lo que me falta el cuadrado.

¿Algún consejo para este problema?

¡Gracias de antemano!

Editar: Por supuesto, $R$ debe ser independiente de $\theta$. Por lo que no puedes simplemente tomar

$$R(x):=\frac{1-\theta}{n}x$$

para cada $\theta$ o algo similar que dependa de $\theta$.

Answer 1

En realidad estabas muy cerca.

El artículo solicitado es algo cuya expectativa es $\theta(1 - \theta) = \theta - \theta^2$. Una opción es encontrar un estimador que sea no sesgado. Sin más requisitos, el método de los momentos es suficiente.

Dado que se sabe que $E_{\theta}[x] = n\theta$ tal que $G(x) \equiv \frac{x}n$ es un estimador no sesgado para $\theta$, como en $E_{\theta}[G] = \theta$, podemos intentar el simple $$\theta - \theta^2 \mapsto G - G^2 \qquad \implies \text{ansatz:} \quad R(x) \propto A(x) := \frac{x}n - \left( \frac{x}n \right)^2$$ Ahora examinemos la expectativa de $A(x)$. \begin{align} E_{\theta}[ A ] &= E_{\theta}\left[ \frac{x}n - \left( \frac{x}n \right)^2 \right] \\ &= \frac1n E_{\theta}[x] - \frac1{ n^2} E_{\theta}[x^2] \\ &= \frac1n \cdot n \theta - \frac1{ n^2} \left( Var_{\theta}[x] + E_{\theta}[x]^2 \right) \\ &= \theta - \frac1{ n^2} \left( n\theta(1-\theta) + n^2\theta^2 \right) \\ &= \theta - \frac1{ n^2} \left( n\theta + n(n-1)\theta^2 \right) \\ &= \frac{n-1}n \left( \theta - \theta^2\right) \end{align} Es decir, $A(x)$ es un estimador sesgado para $\theta(1 - \theta)$, simplemente podemos corregir el sesgo escalando. $$R(x) := \frac{n}{n - 1} A(x) = \frac1{n - 1} x \left( 1 - \frac{x}n \right)$$ es la variable aleatoria deseada tal que $E_{\theta}[R] = \frac{n}{n-1} E_{\theta}[ A ] = \theta( 1 - \theta)$ como se solicitó.