¿Cómo encontrar una matriz $Y$ con $Y^2≠0$ mientras que $Y^3=0$?

Question

Se me pide encontrar una matriz $3\times3$ $Y$ donde $Y^2≠0$ mientras que $Y^3=0$.

¿Puedo preguntar si hay algún método para resolver tal pregunta?

¡Gracias!

Answer 1

Dado que estás pidiendo un método, no un ejemplo, aquí tienes algo más general.
Se te da un polinomio mónico $P=X^3$ de grado $d=3$, y se te pide construir una matriz $A$ tal que al sustituirla en $P$ dé como resultado la matriz cero: $P[A]=0$, pero lo mismo no se cumple para ningún polinomio de grado menor distinto de cero. En ese caso, entonces $P$ se llama el polinomio minimal de $A$ (cada matriz tiene uno).

Una forma sistemática de resolver esto es imaginar un vector distinto de cero $v$ y suponer que $v,Av,A^2v,\ldots,A^{d-1}v$ forman una base del espacio vectorial; esto asegura que cualquier polinomio distinto de cero $Q$ con $\deg Q

Puede parecer que esto solo garantiza $P[A]v=0$ en lugar de $P[A]=0$. Sin embargo, todo vector$~w$ se puede escribir como $w=Q[A]v$ para algún polinomio$ Q$ (que puede elegirse de grado${}

Si $P=c_0+c_1X+\cdots+c_{d-1}X^{d-1}+X^d$, entonces $-R[A]v=-c_0v-c_1Av-\cdots-c_{d-1}A^{d-1}v$, por lo que la última columna de la matriz tiene entradas $-c_0,-c_1,\ldots,-c_{d-1}$ y toda la matriz es

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -c_{d-1} \end{pmatrix} $$

Esta es la matriz compañera de $P$, que es el ejemplo estándar de una matriz con polinomio minimal$~P$.

Este método crea una matriz cuadrada de tamaño$~d$, y de hecho este es el tamaño mínima necesario para un ejemplo. En tu pregunta $d=3$ y $R=0$, así que obtienes la matriz

$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. ```

Answer 2

Aquí tienes un ejemplo: $$Y=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

La idea general es la de una matriz nilpotente.

Answer 3

La matriz compañera definida como $M=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$ cumple con los requisitos: $M^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},$ y $M^3=0.$
De hecho, para cualquier polinomio $p,$ la matriz compañera de $p$ tiene un polinomio mínimo igual a $p.$
Espero que esto ayude.