¿Se puede dividir un subconjunto denso contable en dos subconjuntos densos disjuntos?

Question

Supongamos que $X$ es un espacio de Hausdorff compacto y conectado y $D \subset X$ es numerable y denso. ¿Siempre podemos escribir $D=D_1 \cup D_2$ como una unión disjunta de subconjuntos denso numerables? Más generalmente, si $U \subset X$ es abierto y $D \subset U$ es numerable y denso, ¿existe una descomposición $D=D_1 \cup D_2$ con cada $D_1 \cap U$ y $D_2 \cap U$ denso en $U$?

El resultado es fácil de demostrar si $X$ tiene una base numerable $U_1, U_2, \ldots$. Simplemente usamos cómo cada $U_n \cap D$ es infinito para asignar elementos distintos de cada $U_n$ a cada uno de $D_1$ y $D_2$ y procedemos por inducción.

No se puede prescindir de $X$ siendo conectado, o al menos perfecto. Porque si $x \in D$ está aislado, cualquier conjunto denso lo incluye, y $x$ debe ser un elemento de exactamente uno de $D_1, D_2$. Así que no me sorprendería si el resultado falla para $U$ pero es cierto para $X$.

Answer 1

A continuación se muestra la respuesta de Ashutosh desde MathOverflow:

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Aquí hay algunos detalles siguiendo [1].

Afirmación: Existe un conjunto denso y numerable $X \subseteq [0, 1]^{\mathfrak{c}}$ que no tiene un subconjunto denso co-denso.

Prueba: Sigue de (1) + (2) a continuación.

(1) Cada subespacio denso y numerable de $2^{\mathfrak{c}}$ es homeomorfo a un subespacio denso y numerable de $[0, 1]^{\mathfrak{c}}$.

Prueba de (1): Usa el hecho de que para cada denso y numerable $D \subseteq 2^{\omega}$, $2^{\omega} \setminus D$ es homeomorfo al espacio de Baire $([0, 1] \setminus \mathbb{Q})^{\omega}$.

(2) $2^{\mathfrak{c}}$ tiene un subespacio denso y numerable $X$ que no tiene un subconjunto codenso denso.

Prueba de (2): (Alas et al. [1]) Sea $\{A_i : i < \mathfrak{c}\}$ una lista de todos los subconjuntos infinitos y no finitos de $\omega$. De manera inductiva, intenta construir $X_i = \{x_{i, n}: n < \omega\} \subseteq 2^{\mathfrak{c} +i}$ para $i < \mathfrak{c}$ de tal forma que se cumplan las siguientes condiciones.

(a) $X_i$ es denso en $2^{\mathfrak{c}+i}$.

(b) Si $i < j$, entonces $x_{j, n} \upharpoonright (\mathfrak{c} + i) = x_{i, n}$.

(c) Si $\{x_{i, n}: n \in A_i\}$ es denso codenso en $X_i$, entonces $\{x_{i+1, n}: n \in A_i\}$ es abierto en $X_{i+1}$.

No hay problema en las etapas $i = 0$, límite.

En la etapa $i + 1$: Si $X_i$ no tiene un subconjunto denso codenso, terminamos la construcción y ponemos $X = X_i$ - Entonces $X \subseteq 2^{\mathfrak{c} + i} \cong 2^{\mathfrak{c}$ y hemos terminado. De lo contrario, elige un conjunto infinito no finito $A \subseteq \omega$ tal que

(i) $\{x_{i, n}: n \in A\}$ es denso codenso en $X_i$ y

(ii) si $\{x_{i, n}: n \in A_i\}$ es denso codenso en $X_i$, entonces $A = A_i$

y define $x_{i+1, n} = x_{i, n} \cup \{(i, 1)\}$ si $n \in A$ y $x_{i+1, n} = x_{i, n} \cup \{(i, 0)\}$ si $n \notin A$. Como se mencionó anteriormente, podemos asumir que la construcción se puede llevar a cabo en cada $i < \mathfrak{c}$ y definimos $X = \{\bigcup_{i < \mathfrak{c}} x_{i, n} : n < \omega\}$. Es fácil verificar que $X$ es denso en $2^{\mathfrak{c} + \mathfrak{c}} \cong 2^{\mathfrak{c}}$ y no tiene un subconjunto denso codenso.

[1]: Alas et al., Espacios irresolubles y submáximos: Homogeneidad versus σ-discreción y nuevos ejemplos en ZFC, Topology and its Applications, Volumen 107, Issue 3, 4 de noviembre de 2000, Páginas 259-273