Parte logarítmica del Algoritmo de Risch

Question

Estoy leyendo algunos documentos sobre el algoritmo de Risch y quería probar un pequeño ejemplo:

Quiero encontrar una solución elemental para:

$$\int\frac{1}{e^x + 1}$$

El siguiente lema me dice cómo hacerlo:

y lo siguiente me dice cómo calcular los valores de $c_i$:

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Mi fracción $\frac{1}{e^x + 1}$ es una fracción propia, el denominador es libre de cuadrados y no divisible por $\theta = e^x$ y $\int\frac{1}{e^x + 1}$ es elemental (Wolfram Alpha).

Usando este enfoque obtengo $$1 = c_1 \cdot \theta^{'} = c_1 \cdot e^x$$ Por lo tanto, $c_1 = 1 / e^x$. Pero se supone que $c_1$ es una constante en $\mathbb{Q}$. ¿Qué estoy haciendo mal?

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La solución a la integración debería ser:

$$\int\frac{1}{e^x + 1} = x - log(e^x + 1)$$

Parece similar a la forma del lema, pero ¿de dónde viene la $x$?

Answer 1

O... Añade y resta un e-potencia en el numerador, luego divide la fracción. Integrarás $1$ y $\frac{-e^{x}}{1+e^x}$. Este último es un término $ln$.

Answer 2

Quiero encontrar una solución elemental para $\displaystyle\int\frac{1}{e^x + 1}$

Normalmente, no me molestaría que alguien escribiera $\displaystyle\int f(x)$ en lugar de $\displaystyle\int f(x)\color{red}{dx}$, pero parece que en este caso en particular, la falta de un adecuado $dx=d(\ln\theta)\neq d\theta$ es la fuente de toda tu confusión. Después de todo, tu integral es no es $\displaystyle\int\frac1{1+\theta}d\theta=1\cdot\ln(\theta+1)$, sino $\displaystyle\int\frac1{1+\theta}d(\ln\theta)$, lo cual es completamente diferente, ¿no estás de acuerdo?

Mi fracción $\dfrac1{e^x+1}$ es una fracción adecuada, el denominador no tiene cuadrados y no es divisible por $\theta=e^x$.

Si $\theta=e^x$, entonces tu integral se convierte en $\displaystyle\int\frac1{1+e^x}d(e^x)=\int\frac{e^x}{1+e^x}dx\neq\int\frac1{1+e^x}dx. Por favor nota que, si este fuera el caso, entonces la fórmula realmente aplicaría, resultando en $\ln(e^x+1)$.