¿Se puede dividir una figura en 2 y 3 pero no en 6 partes iguales?

Question

¿Existe una forma bidimensional (viviendo en un plano) que pueda dividirse en $2$ y $3$ pero no en $6$ partes iguales del mismo tamaño y forma? Esta pregunta es una versión más simple de esta pregunta en Puzzling.SE.

Si tal forma existe, las $3$ partes no pueden ser simétricas y las $2$ partes no pueden ser divididas en $3$ partes iguales.

No estoy seguro de cómo formalizar esto, pero siento que la teoría de grupos podría tener un resultado al respecto.

Answer 1

No es una respuesta, sino un comentario largo.

A continuación hay una construcción algo arbitraria que:

CONTRAS

• Es infinita e ilimitada, y no tiene formas obvias de ser acotada;
• Es un conjunto discreto de puntos, por lo tanto tiene área cero;
• No sé cómo probar que no se puede dividir en 6 partes iguales (aunque argumentaré que esto es probablemente cierto);

VENTAJAS

• Proporciona evidencia de que la pregunta del OP no tiene obstáculos triviales;
• Podría llevar a una respuesta a la pregunta del OP de parte de personas más inteligentes que yo.

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Aquí está la construcción.

Comienza tomando la siguiente subdivisión triangular del plano.

Luego, numera arbitrariamente los triángulos más pequeños con algunos valores enteros de modo que cada par de triángulos vecinos difiera exactamente en 1. Esta es una de las infinitas formas de hacerlo.

A continuación formamos el conjunto tridimensional $$S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\begin{matrix}\text{$(x,y)$ es un vértice de un triángulo pequeño}\\\text{y $z$ es el número de ese triángulo}\end{matrix}\right\}$$ Así que $S$ es una unión de vértices de triángulos, cada uno proyectándose en un triángulo pequeño pero también desplazado verticalmente por la altura correspondiente de ese triángulo. $S$ no debe contener segmentos de línea ni superficies, solo se permiten un número limitado de puntos.

Elegimos alguna transformación lineal $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ tal que, al ser representada como una matriz de $3\times 2$, todas las entradas posibles de la matriz sean algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}(S)$ (abuso de notación: adyuntamos $\mathbb{Q}$ con todas las coordenadas de los puntos de $S$). En efecto, esto proporciona una proyección "suficientemente aleatoria" que mapea $S$ de vuelta al plano de 2 dimensiones. Específicamente, la función $f$ mapea biyectivamente entre los conjuntos $S$ y $f(S)\subseteq\mathbb{R}^2$ manteniéndose lineal.

• Afirmación: $f(S)$ se divide en dos partes iguales. Esto se debe a que $S$ viene en pares de puntos $\vec{u},\vec{v}\in S$ que comparten las mismas coordenadas $x, y$, difiriendo solo en la coordenada $z$ y exactamente en $1$. Así que dividimos $S$ en los puntos de abajo y los puntos de arriba que difieren por una sola traslación de $(0,0,1)$. Y bajo la mapeo lineal $f$, $f(S)$ se divide en dos partes que difieren por una sola traslación por $f(0,0,1)$.

• Afirmación: $f(S)$ se divide en tres partes iguales. Esto se debe a que $S$ también está formado por tríos de puntos $\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in S$ que comparten la misma coordenada $z$ y forman una traslación de un triángulo pequeño originalmente en el plano. Dividimos de manera similar $S$ en base a las tres posiciones posibles de un vértice de un triángulo pequeño fijo, y bajo la transformación lineal $f$, $f(S)$ se divide en tres partes iguales que difieren solo por traslaciones en el plano.

• Conjetura: $f(S)$ no puede dividirse en seis partes iguales. Aquí es donde tuvimos que elegir $f$ lo suficientemente aleatorio cuando lo hicimos. También necesitamos que $S$ sea lo suficientemente aleatorio también, porque de lo contrario si, por ejemplo, todos los triángulos grises reciben altitud 0 y todos los triángulos negros reciben altitud 1, entonces $S$ se divide en séxtuples que son vértices de prismas triangulares. Cuando hicimos elecciones totalmente aleatorias siempre que pudimos hacerlo, no veo ninguna forma obvia de cómo $S$ (y $f(S)$) podrían ser divididos en seis partes iguales.

Entonces $f(S)$ sería una construcción candidata simulada para una forma que el OP solicitó.

Answer 2

Dibuja tres rectángulos de 2 por 6. Para referencia el lado de 6 es horizontal.

Rectángulo # 1: dividir en mitades con línea vertical central. Resultados: 2 partes iguales

Rectángulo # 2: dividir en tercios con 2 líneas verticales. Resultados: 3 partes iguales

Rectángulo # 3: dividir en sextos con 5 líneas verticales. Resultados: 6 partes iguales

Me parece que esto satisface los requisitos.