Probar el área del copo de nieve de Koch por inducción matemática.

Question

Aquí hay una interesante construcción de un objeto geométrico conocido como el copo de nieve de Koch. Define una secuencia de polígonos $S_0$, $S_1$ recursivamente, comenzando con $S_0$ igual a un triángulo equilátero con lados de longitud unitaria. Construimos $S_{n+1}$ eliminando un tercio medio de cada borde de $S_n$ y reemplazándolo con dos segmentos de línea de la misma longitud.

Sea $a_n$ el área de $S_n$. Observa que $a_0$ es simplemente el área del triángulo equilátero unitario que, por geometría elemental, es $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Demuestra por inducción que para todo $n \geq 0$, el área del enésimo copo de nieve está dada por: $$a_n = a_0\left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5} \left(\frac{4}{9}\right)^n\right).$$

Answer 1

Quiero publicar la solución, ya que alguien podría necesitarla.

Prueba. Por inducción ordinaria. Sea la hipótesis de inducción $P(n)$ como $$a_n = a_0\left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\cdot \left(\frac{4}{9}\right)^n\right).$$ Caso base $(n=0): $a_0=a_0\left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\cdot \left(\frac{4}{9}\right)^0\right) = a_0.$ se cumple.

Paso inductivo: Supongamos que $P(n)$ se cumple para algún $n \geq 0$. Mostramos que $P(n) \Rightarrow P(n+1).$ Necesitamos demostrar que $$a_{n+1} = a_0\left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right).$$ Podemos escribir $$a_{n+1} = a_n + e_n t_{n+1}$$ donde $e_n = 3\cdot4^n$ y $t_{n+1} = \frac{a_0}{9^{n+1}}.$ Reemplazando $e_n$ y $t_{n+1}$ en la ecuación de $a_{n+1}$ obtenemos $$a_{n+1} = a_n + 3\cdot4^n\cdot\left(\frac{a_0}{9^{n+1}}\right)=$$ $$a_n + 3\cdot\left(\frac{1}{9}\right)\cdot a_0\cdot\left(\frac{4^n}{9^{n}}\right)=$$ $$a_n + \frac{1}{3}\cdot a_0\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n=$$ Dado que P(n) se cumple, podemos reemplazar $a_n$ con $a_0\left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n\right).$ $$a_0\left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5}\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n\right) + \frac{1}{3}\cdot a_0\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n=$$ $$a_0\cdot \left(\frac{8}{5}\right) - a_0\cdot \left(\frac{3}{5}\right)\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n + \frac{1}{3}\cdot a_0\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n=$$ $$a_0\cdot \left(\frac{8}{5}\right) - a_0\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n \left(\frac{3}{5} - \frac{1}{3}\right)=$$ $$a_0\cdot \left(\frac{8}{5}\right) - a_0\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n \cdot \left(\frac{4}{15}\right)=$$ $$a_0\cdot \left(\frac{8}{5}\right) - a_0\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^n \cdot \left(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{5}\right)=$$ $$a_0\cdot \left(\frac{8}{5}\right) - a_0\cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{n+1} \cdot \frac{3}{5}=$$ $$a_0\cdot \left(\frac{8}{5} - \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)$$ lo cual demuestra $P(n+1).$

Podemos concluir, por el principio de inducción, que $\forall n \geq 0: P(n)$.

Answer 2

Sea $e_n$ la cantidad de aristas de $S_n$, de modo que $e_0=3$. En cada etapa reemplazas cada arista por $4$ aristas, por lo que $e_{n+1}=4e_n$, y no es difícil ver que $e_n=3\cdot4^n$ para cada $n$.

Sea $t_n$ el área de uno de los triángulos agregados para obtener $S_n$; $t_0=a_0=\frac{\sqrt3}4$, y un poco de reflexión muestra que $t_{n+1}=\frac19t_n$ y por lo tanto $t_n=\frac{a_0}{9^n}$.

Claramente $a_{n+1}=a_n+e_nt_{n+1}$; ¿puedes llevar a cabo el paso de inducción ahora?