Ejemplos donde $(a+b+\cdots)^2 = (a^2+b^2+\cdots)$

Question

Considera las dos series infinitas

$$ \frac{\pi}{\sqrt{8}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \cdots $$ y $$ \frac{\pi^2}{8} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{11^2} + \cdots $$

(Notese que la primera serie tiene signos que van de dos en dos en lugar de cada otro.)

Elevar al cuadrado la primera igualdad también da $\pi^2/8$ y así estas dos, cuando se juntan, satisfacen el 'sueño de los estudiantes de secundaria' para elevar al cuadrado una suma: simplemente elevar al cuadrado cada término y sumar, $$ (a + b + c + \cdots)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + \cdots) $$ sin necesitar nada como $2ab + 2ac + 2bc + \cdots$.

Un ejemplo trivial de esto sería $$ (a + 0)^2 = a^2 + 2a0 + 0^2 = a^2 + 0^2 $$ pero solo tiene éxito porque un sumando es cero.

Mis preguntas son

• ¿Hay algún otro ejemplo no trivial simple? Creo que cualquier otro ejemplo no trivial debe ser una suma infinita. edit: John Omielan proporciona el simple ejemplo finito $(1+1-\frac{1}{2})^2 = 1^2 + 1^2 + \frac{1}{2^2}$.
• ¿Hay una demostración "obvia" de que la suma anterior (que no sea la evaluación directa) cumple el sueño de los estudiantes de secundaria? De otra manera, ¿hay una demostración simple de que la suma infinita de "términos cruzados" se anula?

Answer 1

Mi respuesta es la misma que la de Iván. Sin embargo, doy una prueba alternativa de su afirmación, que es demasiado larga para un comentario.

Puedes tomar casi cualquier primeros números $k-1$ números $a_1$, $a_2$, ... , $a_{k-1}$ y siempre existe un $a_k$ tal que $$(a_1+a_2+...+a_{k-1}+a_k)^2={a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_{k-1}}^2+{a_k}^2$$

Mi Prueba:

Tenemos:

$$ (a_1+a_2+...+a_{k-1})^2=a_1^2+a_2^2+...+{a_{k-1}}^2 \iff \sum_{1\ \leq\ i\ <\ j\ \leq\ k-1} a_i a_j = 0. $$

Ahora déjame

$$a_k = \frac{ - \left(\displaystyle\sum_{1\ \leq\ i\ <\ j\ \leq\ k-1} a_i a_j\right) } { \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} a_i}.$$

Esto implica:

$$ \sum_{1\ \leq\ i\ <\ j\ \leq\ k} a_i a_j = \sum_{1\ \leq\ i\ <\ j\ \leq\ k-1} a_i a_j + a_k \sum_{i=1}^{k-1} a_i = 0, $$

siendo la definición de $a_k$ posible si y solo si $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} a_i \neq 0.$