Ejemplos donde $(a+b+\cdots)^2 = (a^2+b^2+\cdots)$

Question

Considera las dos series infinitas

$$\frac{\pi}{\sqrt{8}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \cdots$$ y $$\frac{\pi^2}{8} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{11^2} + \cdots$$

(Notese que la primera serie tiene signos que van de dos en dos en lugar de cada otro.)

Elevar al cuadrado la primera igualdad también da $\pi^2/8$ y así estas dos, cuando se juntan, satisfacen el 'sueño de los estudiantes de secundaria' para elevar al cuadrado una suma: simplemente elevar al cuadrado cada término y sumar, $$(a + b + c + \cdots)^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + \cdots)$$ sin necesitar nada como $2ab + 2ac + 2bc + \cdots$.

Un ejemplo trivial de esto sería $$(a + 0)^2 = a^2 + 2a0 + 0^2 = a^2 + 0^2$$ pero solo tiene éxito porque un sumando es cero.

Mis preguntas son

• ¿Hay algún otro ejemplo no trivial simple? Creo que cualquier otro ejemplo no trivial debe ser una suma infinita. edit: John Omielan proporciona el simple ejemplo finito $(1+1-\frac{1}{2})^2 = 1^2 + 1^2 + \frac{1}{2^2}$.
• ¿Hay una demostración "obvia" de que la suma anterior (que no sea la evaluación directa) cumple el sueño de los estudiantes de secundaria? De otra manera, ¿hay una demostración simple de que la suma infinita de "términos cruzados" se anula?

Answer 1

Hay ejemplos de longitud arbitraria con números reales. Además, puedes tomar casi los primeros números arbitrarios $k-1$ $a_1$, $a_2$, ..., $a_{k-1}$ y siempre existe un $a_k$ tal que $$(a_1+a_2+...+a_{k-1}+a_k)^2=a_1^2+a_2^2+...+a_{k-1}^2+a_k^2$$

Vamos a demostrarlo: Marquemos las sumas parciales como $a_1 +...+a_{k-1}=A \neq 0$ y $a_1^2+a_2^2+...+a_{k-1}^2=B$. Entonces $a_k$ debe satisfacer $$(A+a_k)^2=B+a_k^2$$

$$A^2+2Aa_k+a_k^2=B+a_k^2 \Rightarrow 2Aa_k=B-A^2 \Rightarrow a_k=\frac{B-A^2}{2A}$$

La única limitación impuesta en $a_1$, ..., $a_{k-1}$ para la existencia de $a_k$ es que $A\neq 0$.

Answer 2

Un ejemplo sería, si $\omega$ es una raíz cúbica compleja de la unidad, entonces

$$(1+\omega+\omega^2)^2=1+\omega^2+\omega^4$$

Answer 3

Puede calificar como trivial, pero tenga en cuenta que hay infinitas series de este tipo.

Considere una serie divergente con términos positivos decrecientes $\sum_{n=1}^\infty u_n$, tal que $\sum_{n=1}^\infty u_n^2$ es convergente a $L$, entonces es un teorema conocido que podemos cambiar los signos de $u_n$ de manera que obtengamos una serie convergente a cualquier número real dado. Simplemente elija $\sqrt{L}$.

Es decir, existen $\sigma_n\in\{+1,-1\}$ tales que $\sqrt{L}=\sum_{n=1}^\infty \sigma_nu_n$ mientras que $L=\sum_{n=1}^\infty (\sigma_nu_n)^2$.

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La idea de la demostración del teorema mencionado, asumiendo que $x>0$ (de lo contrario comience con términos negativos): sume $u_n$ hasta obtener un valor mayor que $x$, llámelo $v_1$. Luego sume $-u_n$ hasta obtener un valor menor que $x$, llame la suma de los nuevos términos $v_2$, y continúe este proceso para definir $v_k$ para todo $k$. Entonces $\sum_k v_k$ es alternante y convergente a $x$.

Answer 4

El primer término $$\eqalign{ & \left( {a_1 + a_2 + \cdots + a_n } \right)^2 = R^2 \quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left( {{{a_1 } \over R} + {{a_2 } \over R} + \cdots + {{a_n } \over R}} \right)^2 - 1 = 0\quad \Rightarrow \cr & \left( {\left( {b_1 + b_2 + \cdots + b_n } \right) + 1} \right) \cdot \left( {\left( {b_1 + b_2 + \cdots + b_n } \right) - 1} \right) = 0 \cr}$$ es la ecuación (en $b_k$) de dos planos diagonales, simétricos con respecto al origen, con vector normal $(1,1, \ldots , 1)$, pasando por el punto $$\pm \left( {{1 \over n},{1 \over n}, \ldots ,{1 \over n}} \right)$$ y por lo tanto cada uno a una distancia del origen de $${1 \over {\sqrt n }}$$

El segundo término $$\eqalign{ & a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^2 = R^2 \quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad b_1 ^2 + b_2 ^2 + \cdots + b_n ^2 = 1 \cr}$$ es una esfera unitaria centrada en el origen.

Por lo tanto, la igualdad $$\eqalign{ & \left( {a_1 + a_2 + \cdots + a_n } \right)^2 = a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^2 = R^2 \quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left( {b_1 + b_2 + \cdots + b_n } \right)^2 = b_1 ^2 + b_2 ^2 + \cdots + b_n ^2 = 1 \cr}$$ se cumple siempre que los puntos $b_k$ estén en uno de los dos círculos resultantes de la intersección,
y los puntos $a_k$ en cualquier dilatación de esos círculos, es decir, en la superficie cónica con vértice en el origen, eje $(1,1, \ldots , 1)$, sección transversal definida por el círculo anterior en la esfera unitaria.

Answer 5

No sé si esto puede interesarte o responder a tu pregunta, pero si juegas con un campo diferente de $\mathbb{R}$, suceden cosas especiales. Por ejemplo, al trabajar con un campo $\mathbb{F}$ con característica igual a 2, siempre es verdad que $$(a+b)^2 = a^2 + b^2, \space \forall a,b \in \mathbb{F}$$

Y si tomamos otra suma finita $(a + b+ c+ d)^2$ para obtener la afirmación que queremos, necesitamos que $$2(ab + ac + ad + ...) = 0$$

y dado que ese término es par, podemos elegir un campo con característica par adecuada y obtenemos una serie de ejemplos que no son triviales.