¿Subcociente del grupo abeliano equivalente a "cociente sub" del grupo abeliano?

Question

Supongamos que tenemos un grupo abeliano $G$. Supongamos también que tenemos un "subcociente" $H$, que es un subgrupo de un grupo cociente de $G$.

Si $H$ puede ser construido de esta manera, ¿cuándo es también cierto que $H$ es también un grupo cociente de un subgrupo de $G`?

Answer 1

Esto es siempre cierto. Si $H$ es un subgrupo de $G/K$, entonces sea $p:G\to G/K$ el mapa cociente y considere la imagen inversa $H'=p^{-1}(H)$. Es fácil ver que $H'$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $K$ y $H$ puede identificarse de forma natural con $H'/K.

De hecho, este argumento también funciona para grupos no abelianos. La afirmación recíproca también es verdadera para grupos abelianos: un "subcociente" es un subcociente, simplemente invirtiendo el argumento anterior (comenzando con $H'/K$, deje que $H$ sea la imagen de $H'$ bajo el mapa cociente $p:G\to G/K$ y puede identificar $H$ y $H'/K). Sin embargo, la afirmación recíproca no es verdadera (al menos de manera canónica) para grupos no abelianos, porque $K$ podría ser normal en $H'$ pero no en todo $G. De memoria, no conozco un ejemplo de un grupo no abeliano $G$ y un subgrupo de cociente de $G$ que no sea isomorfo a ningún subcociente de $G, pero creo que no son demasiado difíciles de encontrar.