Supongamos que tenemos un grupo abeliano G. Supongamos también que tenemos un "subcociente" H, que es un subgrupo de un grupo cociente de G.
Si H puede ser construido de esta manera, ¿cuándo es también cierto que H es también un grupo cociente de un subgrupo de $G`?
Esto es siempre cierto. Si H es un subgrupo de G/K, entonces sea p:G→G/K el mapa cociente y considere la imagen inversa H′=p−1(H). Es fácil ver que H′ es un subgrupo de G que contiene a K y H puede identificarse de forma natural con $H'/K.
De hecho, este argumento también funciona para grupos no abelianos. La afirmación recíproca también es verdadera para grupos abelianos: un "subcociente" es un subcociente, simplemente invirtiendo el argumento anterior (comenzando con H′/K, deje que H sea la imagen de H′ bajo el mapa cociente p:G→G/K y puede identificar H y H'/K). Sin embargo, la afirmación recíproca no es verdadera (al menos de manera canónica) para grupos no abelianos, porque K podría ser normal en H' pero no en todo G. De memoria, no conozco un ejemplo de un grupo no abeliano G y un subgrupo de cociente de G que no sea isomorfo a ningún subcociente de $G, pero creo que no son demasiado difíciles de encontrar.
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