Continuamente se extiende un conjunto independiente de vectores en una base.

Question

Pregunta: Vamos a $I=(a,b)$ ser un intervalo y dejar $$v_i:I\to\mathbb{R}^n,\quad i=1,\ldots,k$$ ser continuas curvas tales que $v_1(t),\ldots,v_k(t)$ son linealmente independientes en $\mathbb{R}^n$ por cada $t\in I$. Podemos encontrar siempre continuas curvas $$v_{k+1},\ldots,v_n:I\to\mathbb{R}^n$$ tal que $v_1(t),\ldots,v_n(t)$ constituye una base para $\mathbb{R}^n$ por cada $t\in I$?

Sé que si $v_1(t),\ldots,v_k(t)$ es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces podemos extender a una base $v_1(t),\ldots,v_n(t)$$\mathbb{R}^n$. Pero, ¿cómo nos aseguramos de que $v_{k+1},\ldots,v_n$ será continua?

Es intuitivamente muy claro que no debe existir tal continuas curvas, porque hay un montón de opciones posibles para extender el conjunto de base. Seguramente, no debe haber ningún problema de hacerlo de forma continua, pero no puedo encontrar una manera de demostrarlo rigurosamente.

Es fácil hacer esto en $\mathbb{R}^3$ cuando se tienen dos curvas de $v_1,v_2$. En ese caso, podemos tomar la cruz de producto $$v_3(t)=v_1(t)\times v_2(t)\in\mathbb{R}^3.$$ Pero en general, yo no conozco a ninguna expresión explícita para la producción de vectores linealmente independientes $v_{k+1},\ldots,v_n$ en términos de las anteriores. Es que hay alguna?

Answer 1

Vamos a llamar a las funciones continuas $v_1, \dotsc, v_k$ linealmente independientes (resp. una base) si los vectores $v_1(t),\dotsc,v_k(t)$ son linealmente independientes (resp. una base) en $\Bbb{R}^n$ por cada $t \in I$.

Vamos a proceder por inducción. Si $n = 1$$k = 0$, así que usted puede elegir $v_1$ a ser la constante de la función con el valor de $e \in \Bbb{R}^*$. Ahora que el caso base se borra suponemos que $v_1,\dotsc,v_{n-1}$ son linealmente independientes de las funciones y vamos a completar a una base.

Para cada una de las $t \in I$ considera que el espacio de $V_t \subset \Bbb{R}^n$ atravesado por $v_1(t),\dotsc,v_{n-1}(t)$. Puesto que el $v_j$ son continuas en a $t$ también podemos ver $V_t$ como la sección de una superficie de $V \subset X := I \times \Bbb{R}^n$ por el hyperplane $\{x_0 = t\}$. No es difícil ver que $V$ es homeomórficos a $I \times \Bbb{R}^{n-1}$: por ejemplo, considerar el mapa $$ (t, a_1v_1(t) + \dotsb + a_{n-1}v_{n-1}(t)) \mapsto (t,a_1e_1(t) + \dotsb + a_{n-1}e_{n-1}(t)) $$ donde $e_1,\dotsc,e_{n-1}$ son la constante de funciones con valores en el estándar de la base de $\Bbb{R}^{n-1}$. En particular, esto significa que $V$ divide $X$ en dos mitades. Usted puede elegir como $v_n$ cualquier curva continua que lleva exactamente un valor para cada $t \in I$ y que está completamente contenido dentro de una de esas mitades (sin tocar $V$).