¿Puede $\pi$ ser definido en un contexto p-ádico?

Question

No soy en absoluto un experto en análisis p-ádico, pero me preguntaba si hay alguna forma sensata (o incluso generalmente aceptada) de definir el número $\pi$ en $\mathbb Q_p$ o $\mathbb C_p$ .

Creo que los círculos, por lo tanto también los ángulos, son problemáticos en un contexto p-ádico, pero $\pi$ aparece en muchos otros contextos. Por supuesto, hay muchas series conocidas que suman a $\pi$ , algunas pueden converger p-ádicamente, pero las que convergen pueden tener límites diferentes, y creo que se necesitaría más motivación para designar una como un análogo de $\pi$ .

Tal vez se podría encontrar un análogo basado en $e^{n\pi i} = (-1)^n$ , o incluso $\int_{\mathbb R} e^{-x^2/2}dx = \sqrt\pi$ . Así que mi pregunta:

¿Existe o existen definiciones p-ádicas de $\pi$ ? Si no, ¿podríamos definir de manera sensata $\pi_p$ , y cómo?

Answer 1

En una nota muy halagadora, @saulspatz me ha pedido que opine sobre este tema. Pero muchos de los comentaristas a tu pregunta ya han mostrado una mayor familiaridad con asuntos deep $p$-ádicos de la que poseo. Sin embargo, aquí está mi granito de arena.

Mi primera reacción a tu pregunta es: "No puede existir algo como $p$-ádico $\pi$." Sin embargo, déjame advertirte desde el principio que cada vez que un científico mayor dice que algo es imposible, es hora de que los científicos jóvenes demuestren que el viejo chiflado (o vieja chiflada) está equivocado. Solo piensa en la ridícula (a la luz del conocimiento geológico de su época) estimación de la edad de la tierra (y peor aún, del sol) por parte de Kelvin.

¿A qué fenómeno arquimedeano se podría querer formar una analogía para definir un $p$-ádico $\pi$? Ciertamente no al cociente, de alguna manera, de la circunferencia (o área) de un círculo con el radio. Porque no hay círculos en $\Bbb Q_p$, excepto discos, y no tienen circunferencias. Podrías intentar comparar el "interior" $\{z\in\Bbb Q_p:|z|<1\}$ del disco unitario $D_1=\{z\in\Bbb Q_p:|z|\le1\}$, pero ese no es su interior, y lo que ingenuamente se podría pensar que es la "circunferencia", la diferencia de conjuntos de los dos, tiene $p-1$ veces la medida del "interior". No sirve para nada parecido al verdadero $\pi$, especialmente cuando ves que la misma construcción ofrece diferentes razones bajo extensiones finitas del campo $\Bbb Q_p$.

Cualquiera huiría gritando de ese enfoque, y esperaría que la primera raíz no nula de la función seno, o el primer argumento no nulo $z$ de la función compleja $z\mapsto e^{iz}$ para dar el valor $1$, pudiera ayudar. Incluso ignorando la pregunta de que no puede existir una buena noción definida de primero en términos $p$-ádicos, ninguna de estas funciones está definida (o, aparentemente, definible) lo suficientemente lejos de cero como para ser algo más que una función biunívoca. En el caso de la función seno, la serie de expansión que conoces tiene perfectamente sentido en una vecindad de $0$, pero en su dominio de convergencia $p$-ádico, es biunívoca, por lo tanto solo tiene una raíz $0$.

Podrías pensar que el exponencial ofrecía más esperanzas, pero su dominio de convergencia es el mismo, $\{z:|z|. (En este punto, la valoración aditiva me confunde, y tengo que usar la valorización aditiva$v_p:\Bbb Q_p\to\Bbb Z\cup\{\infty\}$. Satisface$v(zz')=v(z)+v(z')$,$v(z+z')\ge\min(v(z),v(z'))$, y$v(0)=\infty$,$v(p)=1$.) En mi notación preferida, la condición para la convergencia del exponencial es$v(z)>\frac1{p-1}$. Pero no importa cómo lo mires, el exponencial es biunívoco en ese dominio, no tiene otras raíces.

Bueno, podrías decir, ¿qué hay de el logaritmo? Sabemos que en el dominio correcto de definición, tenemos $\log(i)=i\pi/2$. ¿Por qué no podemos usar eso? Pero la gloria del análisis complejo es que el logaritmo no es un homomorfismo. Intenta satisfacer la regla $\log(zz')=\log z+\log z'$, pero el logaritmo no está definido en un grupo.

Supongo que podrías decir que la gloria del análisis $p$-ádico es que el logaritmo sí es un homomorfismo, y está definido en el enorme grupo $\{z\in\Bbb C_p: v(z-1)>0\}$, las unidades principales de $\Bbb C_p$. El codominio es $\Bbb C_p$, y es un ejercicio fácil mostrar que el logaritmo es sobreyectivo (!). Pero para cada $z\in\Bbb C_p$, la imagen inversa $\log^{-1}(z)$ es infinita, porque el núcleo del homomorfismo $\log$ es el conjunto de raíces $p$-ésimas de la unidad, un subgrupo infinito del grupo de dominio.

Ofreces otra sugerencia: ¿tal vez alguna otra serie arquimediana se pueda utilizar para definir un $p$-ádico $\pi$? No creo que la serie de $\arctan$ ayude, $\arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-\cdots$. En el mundo real puedes establecer $x=1$ allí, pero la serie es divergente $p$-ádicamente. ¿Qué sería $\arctan(p)$ de todos modos? Pero se podría considerar eso...

Filosóficamente hablando, creo que estás persiguiendo una ilusión. Creo que $\pi$ es intrínsecamente un objeto arquimediano, y pedir un análogo $p$-ádico es pedir una contradicción en términos.