Sea $f_n$ una secuencia de funciones medibles en $[0,1]$ con $|f_n(x)|\lt\infty$ casi en todas partes. Muestre que existe una secuencia $c_n$ de números reales positivos tal que $f_n(x)/c_n\to0$ casi en todas partes en $[0,1]$. Pista: utilice el lema de Borel-Cantelli- elija la secuencia $c_n$ de manera que $$m[x{\rm\ en\ }[0,1]:|f_n(x)|/c_n\gt1/n]\lt2^{-n}$$ donde $m$ es la medida.
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Hecho 1: Si $f:[0,1]\to\mathbb R$ es medible y $|f(x)|$ es finito para casi todo $x$, entonces para cualquier $\epsilon>0$ hay un número $M$ tal que el conjunto $\{x:|f(x)|>M\}$ tiene medida a lo sumo $\epsilon$.
Razón: Dado que la intersección $\bigcap_{k=1}^\infty \{x:|f(x)|>k\}$ tiene medida $0$ y los conjuntos en esta intersección son anidados, se sigue que $m[\{x:|f(x)|>k\}]\to 0$ cuando $k\to\infty.
Elegir $c_n$ en base al Hecho 1, de modo que $m[\{x:|f(x)|/c_n>1/n\}]<2^{-n}$.
El resto es una aplicación de Borel-Cantelli: el conjunto de números $x$ tales que $|f(x)|/c_n>1/n$ infinitas veces tiene medida cero. Reformular esto como: para casi todo $x$ tenemos $|f(x)|/c_n\le 1/n$ para todos los $n$ suficientemente grandes.
