No. Tu intuición no es correcta. Aquí está la razón:
Por definición, una familia $F$ de funciones (reales) definidas en un espacio métrico $(K,d)$ se dice que es equicontinua si para cada $\epsilon>0$ existe un solo número $\delta>0$ que depende solo de $\epsilon$ satisfaciendo lo siguiente: para cada triple dado $(x,y,F) \in K \times K \times F$ tal que $d(x,y)<\delta$, siempre tenemos $|f(x)-f(y)|<\epsilon$.
En el contexto de tu pregunta, esto significa: para un $\epsilon>0$ dado, debes encontrar un solo número $\delta > 0$ tal que para cada $(x,y,u) \in K^3$ tal que $d(x,y)<\delta$ tenemos $|f_u(x)-f_u(y)|<\epsilon$. El $\delta$ elegido no debe depender de $u$. Por lo tanto, no puedes simplemente reemplazar $g(u)$ como una constante ya que solo demostraría que $f_u$ es continua para cada $u$ fijo dado en $K$. Es decir, en tu solución, tu $\delta$ depende de $u$.
Para corregir esto, nota que dado que el dominio de $g$ es compacto, $g$ está acotado y $g$ es uniformemente continuo en $K$. Existe un $M>0$ tal que $g(x)+g(u) \in [-M,M]$ para cada $x \in K$ y cada $u \in K$. En particular, $h$ es uniformemente continuo en $[-M,M]$. Por lo tanto, puedes abordar el problema de la siguiente manera:
Sea $\epsilon>0$ dado. Existe un $\delta_1>0$ tal que $|h(a)-h(b)|<\epsilon$ siempre que $|a-b|<\delta_1$ y $a,b \in [-M,M]$ por la continuidad uniforme de $h$. Por la continuidad uniforme de $g$, existe un $\delta > 0$ tal que $|g(x)-g(y)|< \delta_1$ siempre que $d(x,y)<\delta$. Este es de hecho el $\delta$ deseado ya que $|g(x)-g(y)|=|g(x)+g(u)-g(y)-g(u)|$ de modo que pones $a=g(x)+g(u)$ y $b=g(y)+g(u)$ la demostración está completa.
