Generé las secuencias de Collatz para los primeros 2,000 enteros iniciales, y tracé estas secuencias "unas sobre otras" en coordenadas polares, usando un radio fijo y con cada elemento en la secuencia como theta (convertido a radianes, es decir, módulo 360). Los elementos sucesivos dentro de cada secuencia están conectados por líneas (semitransparentes).
Al seguir estos pasos se produjo la imagen a continuación, donde podemos ver claramente dos formas (un cardiode y un nefroide). (El código Python que genera esta imagen está disponible aquí. El número total de elementos en las 2,000 secuencias es 136,100, por lo que el número total de líneas trazadas en la imagen a continuación es 136,100 - 2,000 = 134,100.)
Enlace a la imagen generada (alta calidad) o baja calidad
Mi pregunta es: ¿Por qué un cardiode y nefroide aparecen claramente? ¿Hay algo notable sobre las secuencias de Collatz que produzca estas formas, o esto no está relacionado con las complejidades de las secuencias de Collatz, y que otras secuencias enteras no relacionadas también producen formas similares?
Hasta el momento, no he visto ninguna referencias sustanciales en línea sobre nefroides y la conjetura de Collatz juntas.
Una publicación aquí describe cómo se puede generar un cardiode en coordenadas polares dibujando líneas entre puntos espaciados uniformemente en un círculo, pero esto no se relaciona con las secuencias de Collatz, y no construye un nefroide.
Actualización:
Basado en la discusión, el cardiode se puede generar basado en el sobre de líneas dibujadas entre puntos alrededor de un círculo, con cada línea dibujada entre el punto línea entre los puntos n y 2n (módulo N), como se describe aquí. El nefroide se basa en el mismo concepto para puntos entre n y 3n, como se describe aquí. La secuencia de Collatz contiene ambos comportamientos: algunos elementos en la secuencia siguen 2n->n (el orden de los dos no importa si estamos conectando líneas), y algunos elementos siguen n->3n+1 (pero el componente +1 es insignificante para la forma general), lo que resulta en el cardiode y el nefroide.
Actualización #2:
Según la sugerencia de heropup a continuación, he vuelto a dibujar la imagen donde para cada línea que conecta términos (N,N+1) en una secuencia, la línea es roja si N+1 > N y azul si N+1 < N. A partir de esto y de la actualización anterior, podemos ver claramente que el nefroide es rojo y el cardiode es azul.
Enlace a la imagen generada en color (alta calidad) o baja calidad
(Esto probablemente se ve mejor en un fondo blanco pero tarda mucho tiempo en generarse).
