Probabilidad de acertar en el objetivo por enésima vez en el lanzamiento m-ésimo

Question

Un niño está lanzando piedras a un objetivo. La probabilidad de que él golpee el objetivo es $\frac{1}{2}$. ¿Entonces cuál es la probabilidad de que él golpee el objetivo por 5ta vez en 10 lanzamientos?

La respuesta dada es 1/2.

Ahora, la razón dada es que no importa cuántos lanzamientos haga o cuántas veces golpee (ya sea 10 veces en 10 lanzamientos o 6 veces en 7 lanzamientos o que las 5 lanzadas iniciales golpeen el objetivo de 10 lanzamientos) ya que la probabilidad de que él golpee el objetivo siempre es 1/2 por lo tanto la probabilidad neta siempre será 1/2.

Pero al aplicarlo en la fórmula de distribución binomial, la respuesta es diferente.

Answer 1

Presumiblemente cada lanzamiento es independiente de los otros (algo que es crítico tener en cuenta para poder continuar con el problema porque sin esta suposición no hay información suficiente para responder).

Ahora... el evento en el que estamos interesados en calcular la probabilidad, según entiendo tu pregunta, es que entre los primeros nueve lanzamientos, exactamente cuatro fueron aciertos y además el décimo lanzamiento también es un acierto.

Los resultados de los primeros nueve lanzamientos serán independientes del resultado del décimo lanzamiento, por lo que podemos encontrar las probabilidades de cada uno y multiplicar los resultados. Para calcular cada uno, podemos utilizar una distribución binomial.

Esto nos da:

$$\binom{9}{4}0.5^4\times 0.5^{9-4} ~\times ~0.5$$

O simplificado:

$$\binom{9}{4}\times 0.5^{10}=\dfrac{63}{512}$$

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Si tu pregunta en cambio es, cuál es la probabilidad de que en diez lanzamientos, al menos cinco sean aciertos, entonces esto será

$$\sum\limits_{k=5}^{10}\binom{10}{k}0.5^k\times 0.5^{10-k}$$

o simplificado

$$\dfrac{319}{512}\approx 0.623$$

Es igualmente probable que haya estrictamente más aciertos que fallos versus tener estrictamente más fallos que aciertos aquí. También es posible que haya un número igual de aciertos y fallos, y por lo tanto la probabilidad de tener al menos tantos aciertos como fallos (es decir, 5 o más) será estrictamente mayor a $0.5$.

Compara esto cuando hay un número impar de lanzamientos, donde ya no es posible tener un número igual de aciertos y fallos. Si lanzamos nueve veces, encontramos que dado que es igual de probable acertar que fallar, entonces la probabilidad de obtener más aciertos que fallos será de $0.5$ sin necesidad de realizar los cálculos manualmente.

Answer 2

En el $10$º lanzamiento, la probabilidad no cambia. Entonces, sus posibilidades de dar en el blanco seguirían siendo $1/2$. No importa cuántas veces haya dado en el blanco antes. Incluso si falla el blanco un millón de veces seguidas, la probabilidad en el lanzamiento millón+1 seguiría siendo $1/2$. Consulta la falacia del jugador.

Answer 3

En teoría de probabilidades se llama distribución binomial negativa. Lo que hace es responder a la pregunta de cuál es la probabilidad de tener $n$ éxitos después de $m$ intentos. Técnicamente esta notación es incorrecta, pero la modifiqué para que coincida con tu pregunta.

Por ejemplo, podrías decir que en el caso de un juego de piedra, papel o tijera al mejor de $3$, ¿cuáles son las probabilidades de que el partido termine después de solo $2$ rondas? En tu caso la pregunta es, cuáles son las probabilidades de que dé en el blanco por $n$a vez en el lanzamiento $m$. La fórmula es la siguiente

$$ \binom{m - 1}{n - 1}p^n(1-p)^{m-n} $$

El $\binom{m-1}{n-1}$ viene del hecho de que necesitas elegir la ubicación de todos los aciertos, y ya sabes que el último lanzamiento tiene que ser un acierto para asegurarte de que tu condición se cumpla. Así que en tu ejemplo con $p=\frac{1}{2}$, la fórmula para cualquier $m$ y $n$ son

$$ \binom{m - 1}{n - 1}\dfrac{1}{2^m} $$

por lo tanto, para $n=5,m=10$ encontramos

$$ \binom{9}{4}\dfrac{1}{2^{10}} = \dfrac{63}{512} \aprox 12.3\% $$

Answer 4

La probabilidad de golpear el objetivo es $~\frac{1}{2}~$ y por lo tanto la probabilidad de golpear el objetivo es $~1- \frac{1}{2}=\frac{1}{2}~$.

Por lo tanto, $~P~=~$$\{$ probabilidad de golpear el objetivo $~4~$ veces en $~9~$ lanzamientos $\}~-~\{$ probabilidad de golpear el objetivo en el $~10^{mo}~$ lanzamiento $~\}$

$~~=~\left\{^9C_4 ~\times~ \left(\frac{1}{2}\right)^4~\times~ \left(\frac{1}{2}\right)^5\right\}~\times~\left(\frac{1}{2}\right)$

$~~=~^9C_4 ~\times~ \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$

$~~=\frac{63}{2^9}$