Cuánto puede un débil derivados difieren de un clásico?

Question

Deje $B$ denotar la unidad de la bola en $\mathbb{R}^n$ y deje $f\in C^1(B\setminus\{0\})\cap L^1(B)$. Indicar con $\nabla_c f$ el clásico de gradiente, que se define en $B\setminus\{0\}$, y denotan con $\nabla f$ la distribución de la pendiente, que es una distribución en toda la bola de $B$. Supongamos que $\nabla_cf$ es una distribución en $B$ (es decir, $\nabla_c f \in L^1(B)$), por lo que podemos escribir $$\nabla f = \nabla_c f + T,$$ para una distribución $T$$B$.

Pregunta. ¿Qué podemos decir acerca de $T$?

Supongo que $T$ necesidades de ser una delta de Dirac, porque necesita ser apoyado en $\{0\}$ y no veo ninguna razón por la que puede ser de orden mayor que cero. Estoy en lo cierto?

Answer 1

Si $n \geq 2$, entonces en realidad usted tiene $T = 0$. Esto se deduce a partir del teorema de Fubini. Considere el caso de dos dimensiones. Denotar por $\partial_c$ el clásico derivados del operador y por $\partial_d$ la distribución de derivados, y deje $\phi \in C^{\infty}_c(\Omega)$. Debido a $\frac{\partial_c f}{\partial x} \phi \in L^1(B)$ hemos

$$ \int_B \frac{\partial_c f}{\partial x} \phi dx dy = \int_{-1}^1 \int_{-1}^{1} \frac{\partial_c f}{\partial x}(x,y)\phi(x,y) dx dy = \int_{-1}^1 F(y) dy $$ donde $$ F(y) = \int_{-1}^1 \frac{\partial_c f}{\partial x}(x,y)\phi(x,y) dx. $$ Ya que para todas las $y \neq 0$, la función de $x \mapsto \frac{\partial_c f}{\partial x}(x,y)$$C^1$, se puede integrar por partes, para obtener $$ F(y) = -\int_{-1}^1 f \frac{\partial_c \phi}{\partial x} dx. $$ La aplicación de Fubini de nuevo, obtenemos $$ \int_B \frac{\partial_c f}{\partial x} \phi dx dy = - \int_B f \frac{\partial_c \phi}{\partial x} dx dy$$ lo que implica que $\frac{\partial_c f}{\partial x} = \frac{\partial_d f}{\partial x}$.

Si $n = 1$, luego el teorema fundamental del cálculo, junto con el hecho de que $f \in L^1(B)$ implica que el $f$ debe tener a lo más un salto de discontinuidad en$0$, por lo que puede obtener sólo una constante múltiples de una delta de Dirac.

De manera más general, la Fubini argumento se aplica a cualquier $C^1$ función fuera de un singular conjunto de "codimension" dos o superior. Por ejemplo, si $n = 3$$f \in C^1(B \setminus \{x = y = 0\})$, usted todavía puede ejecutar el argumento. Esta es también la razón por la falla por $n = 1$.