El conjunto de diferencias para un conjunto de positivo de la medida de Lebesgue

Question

Hace bastante tiempo, me enteré de una declaración en la teoría de la medida, que va como sigue:

Deje que $A \subconjunto \mathbb R^n$ ser un Lebesgue-medible conjunto de medida positiva. Luego seguimos a que $a-A = \{ x-y \mid x,y\in A\}$ es una vecindad de cero, es decir, contiene una bola abierta en torno a cero.

Ahora conseguí recordar que la declaración como tengo la tarea de problema (prueba de Kolmogorov, introducción al Análisis Real, pág. 268, Problema 5):

Demostrar que todo conjunto de medida positiva en el intervalo $[0,1]$ contiene un par de puntos cuya distancia es un número racional.

La declaración anterior, obviamente, sería demostrar la tarea problema y me gustaría probar la afirmación más general. Creo que la asunción de la frente y tomar una secuencia de $\{x_n\}$ convergente a cero, tales que ninguno de los elementos contenidos en $Un$, podríamos ser capaces de definir un orden ascendente/descendente de la cadena de $A_n$ que la unión y la intersección es de $Un$ pero el límite de sus medidas cero. Estoy en la falta de ideas para la definición de los $A_n$.

Yo estoy pidiendo específicamente no una respuesta sino un indicio sobre el problema. Sobre todo si mi idea resulta ser fructífera para alguien, un aviso sería genial. O si otro conocido teorema es necesario, que sin duda desea saber. Gracias por su ayuda.

Answer 1

He aquí un intento de presentar una sugerencia para el primer resultado de preguntar acerca de: Suponer sin pérdida de generalidad que $a$ tiene medida finita. Deje que $f$ ser la función característica de $A$ y dejar que $\tilde{f}$ ser el uno de $-A$. La convolución $g = f \ast \tilde{f}$ es continua en $0$ es en el apoyo de $g$.

Añadido posterior: Un buen estándar de la aplicación es que cada medibles homomorphism $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua. Para más sobre esto y otros asuntos relacionados echar un vistazo a estos dos MO-hilos:

1. En mensurables homomorphisms $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$.
2. En mensurables automorfismos de localmente compacto grupos

Se podría dilucidar cuál es mencionado en otra respuesta.

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Actualización:

Lo que escribí arriba es la forma en que prefiero probar esto.

Otro enfoque es la apelación a la regularidad de la medida de Lebesgue $\lambda$ (utilizado en $1$ y $de$ 2 a continuación).

1. Desde $Un$ contiene un conjunto compacto de medida positiva, podemos suponer $$ para ser compacto de inmediato (como $B-B \subconjunto a - a$ si $B \subconjunto De$).
2. Existe un conjunto abierto de $U \supset$ tal que $\lambda(U) \lt 2 \lambda(A)$.
3. Ya que $A$ es compacto, existe $I = (-\varepsilon, \varepsilon)^{n}$ tal que $A + x \subconjunto de U$ para todo $x \in I$.
4. Desde $\lambda (U) \lt 2\lambda(Una)$ tenemos que $\lambda((a + x) \cap a) \gt 0$.

Este es, por supuesto, muy estrechamente relacionado con el argumento dado por Chandru1 a continuación.

Answer 2

Si usted necesita para encontrar información sobre el tema, la primera prueba del hecho de que el conjunto de diferencias contiene una vecindad del origen es (para la medida de Lebesgue en la línea) debido a Steinhaus. Hay una gran colección de las generalizaciones de los resultados.