Problemas con las fórmulas de propagación de errores para la multiplicación y la exponentiación

Question

En nuestras notas de laboratorio, se indica que para alguna relación entre variables de la forma $Z=AB$, los errores están relacionados por

$$(\Delta Z /Z)^2=(\Delta A/A)^2 + (\Delta B /B)^2$$

Y que para la relación $Z=A^n$ los errores son

$$(\Delta Z /Z)=n(\Delta A/A)$$

Sin embargo, esto me parece inconsistente. Si tomo la primera relación y reemplazo B por A de manera que $Z=A^2$, obtengo un error

$$(\Delta Z /Z)^2=(\Delta A/A)^2 + (\Delta A /A)^2=2(\Delta A/A)^2$$

Dando como resultado $(\Delta Z/Z)= \sqrt{2}(\Delta A/A)$

Lo cual no es lo mismo que $(\Delta Z/Z)=2(\Delta A/A)$ como predice la segunda relación.

¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

Las reglas normales del análisis de errores asumen que los errores en diferentes cantidades están no correlacionados. Para usar la regla de error que cita para el producto $AB$ se debe asumir que los errores para $A$ y $B$ no están relacionados, lo cual no es el caso cuando $A=B.

Actualización: se ha añadido un texto basado en los comentarios.

Hay cierta intuición aquí. El valor medido para $A$ puede ser mayor o menor que el valor real. Cuando los errores no están correlacionados, entonces lo mismo es cierto independientemente para $B$. Promediar sobre las diferentes posibilidades tanto para $A$ como para $B por separado da como resultado $\sqrt{2}$. Cuando los errores están correlacionados, el promedio cambia. Si el valor medido para $A$ es mayor que el valor real, entonces ambos factores medidos de $A$ serán mayores por la misma cantidad. Promediar sobre las posibilidades en este caso da como resultado el factor de $2$. El hecho de que los errores en el caso no correlacionado pueden ser mayores o menores permite cancelaciones al promediar que no ocurren en el caso correlacionado, lo que se refleja en el hecho de que $\sqrt{2}<2$.