¿Estos axiomas de grupo unilaterales "ultrabajas" garantizan un grupo?

Question

Esta publicación muestra que los axiomas de grupo "izquierdo", que solo garantizan una identidad izquierda e inversos izquierdos, son suficientes para garantizar que un semigrupo sea un grupo. La misma idea podría usarse para mostrar que los axiomas de grupo "derecho" también son suficientes. Estos conjuntos de axiomas podrían considerarse axiomas de grupo "débiles", pero me pregunto si podemos ser aún más débiles. Consideremos los siguientes axiomas "ultraweak":

Sea $G$ un conjunto y $*$ una operación binaria en $G$ que satisface:

1. $*$ es asociativa.
2. Existe un elemento identidad ultradébil $e\in G$ tal que para todo $x\in G,$ o bien $e*x = x$ o bien $x*e=x$ (es decir, el "lado" de $e$ puede diferir para cada elemento de $G$).
3. Para todo $x \in G$ existe un inverso ultradébil $x^{-1}\in G$ tal que o bien $x^{-1} * x = e$ o bien $x*x^{-1}=e$ (es decir, cada elemento de $G$ tiene al menos un inverso por un lado, donde el lado puede diferir para cada elemento).

¿Estos axiomas garantizan que $(G,*)$ es un grupo? Y si no, ¿hasta qué punto podemos acercarnos a estos axiomas, partiendo solo de los axiomas "débiles" izquierdos o derechos? [Por ejemplo, tal vez asumir un elemento de identidad ultradébil con inversos izquierdos (o derechos) es suficiente.]

---

ACTUALIZACIÓN REVISADA:

En los comentarios a la respuesta aceptada por Vincent, @Yakk pregunta si la siguiente condición es suficiente para garantizar un grupo (asumiendo asociatividad de $*$):

Existe un $e\in G$ tal que para todo $x\in G$, o bien (1) $e*x=x$ y existe un $x'\in G$ tal que $x'*x=e$, o bien (2) $x*e=x$ y existe un $x'\in G$ tal que $x*x'=e$.

Al principio pensé que esto era cierto debido a los casos estándar de "identidad izquierda + inversos izquierdos" e "identidad derecha + inversos derechos" aplicando elemento por elemento, pero ahora me doy cuenta de que este razonamiento es incorrecto (estas demostraciones también requieren que el inverso por un lado tenga su propio inverso por un lado con el mismo lado).

Entonces la pregunta sigue siendo: ¿La condición anterior, propuesta por @Yakk, garantiza un grupo? Por favor proporciona una prueba o un contraejemplo.

---

La respuesta a la actualización revisada es "sí;" consulta aquí. Queda una pregunta adicional sobre condiciones aún más débiles, donde las identidades izquierda y derecha pueden ser elementos diferentes. He preguntado eso aquí.

Answer 1

Considera cualquier conjunto $X$ equipado con la operación de proyección izquierda $$*:(a,b)\mapsto a.$$ La asociatividad es trivial. Mientras tanto, cada elemento es una identidad (derecha): fijando $e\in X$ tenemos $x*e=x$ para todo $x\in X$. De manera similar, fijando $e\in X$ podemos pensar en $e$ en sí mismo como la "ultradébil inversa (izquierda) de $x$ con respecto a $e$" - ya que satisface $e*x=e$.

Así que $Proj(X):=(X,*)$ satisface una versión muy fuerte de los axiomas que mencionas. Pero tan pronto como $X$ tiene más de un elemento, $Proj(X)$ está muy lejos de ser un grupo.

---

Respecto a la brecha entre esta noción y la totalidad de ser un grupo, ten en cuenta que crucialmente en lo anterior tenemos un contraste entre las formas en que se satisfacen los segundos y terceros axiomas: cada elemento es una identidad derecha, pero solo tenemos inversas izquierdas. Mientras tanto, la publicación vinculada en el hilo principal muestra que si exigimos identidad derecha + inversas derechas, o identidad izquierda + inversas izquierdas, obtenemos un grupo completo. Por lo tanto, no es tanto que cualquier tipo único de "lateralidad" pueda variar de un elemento a otro, sino que las "lateralidades" relevantes no están obligadas a ser las mismas, lo que da una noción débil.

Answer 2

¿Qué axiomas son suficientes para garantizar un grupo?

Suponiendo asociatividad. Los "inversos de ambos lados" solo requieren que haya un inverso izquierdo y un inverso derecho para cada elemento, no tienen que ser iguales.

Identidad \ Inverso

De ambos lados

De un solo lado

Ultradébil

De ambos lados

$\color{green}{\checkmark}$

$\color{green}{\checkmark}$

$\color{green}{\checkmark}$

De un solo lado

$\color{green}{\checkmark}$

Solo si es del mismo lado

$\color{red}{\mathcal{X}}$

Ultradébil

$\color{green}{\checkmark}$

$\color{red}{\mathcal{X}}$

$\color{red}{\mathcal{X}}$

• Identidad izquierda e inversos izquierdos: Suficiente $\color{green}{\checkmark}$
• Identidad izquierda e inversos derechos: No suficiente (Respuesta de Noah) $\color{red}{\mathcal{X}}$
• Identidad ultradébil e inversos de ambos lados: Suficiente (Ver abajo) $\color{green}{\checkmark}$
• Identidad de ambos lados e inversos ultradébiles: Suficiente (Ver abajo) $\color{green}{\checkmark}$

En resumen, una vez que las identidades o los inversos son de ambos lados, tenemos un grupo. Pero si no es el caso, la única forma de garantizar aún un grupo es si la identidad y los inversos están siempre del mismo lado.

La identidad ultradébil y los inversos de ambos lados son suficientes

Solo requerimos que haya un inverso izquierdo y un inverso derecho para cada elemento, no tienen que ser iguales.

Mostramos que $e$ es una identidad izquierda para cada elemento. Dado que tenemos inversos izquierdos, la afirmación sigue entonces de esta respuesta. Para un elemento $a$, la identidad ultradébil produce $ea=a$ o $ae = a$. Solo necesitamos enfocarnos en el segundo caso. $a$ tiene un inverso derecho $a'$, y $a'$ tiene un inverso derecho $a''$. Así, $a = a e = a (a' a'') = (a a') a'' = e a''$. Esto muestra que $ea = e(e a'') = e a'' = a$ como se requiere.

La identidad de ambos lados y los inversos ultradébiles son suficientes

De hecho, en este caso, $x^2=x$ implica $x=e$ para todo $x$. Por lo tanto, si un tiene un inverso derecho $b$, tenemos $ab=e$ y por lo tanto $ba=b(ab)a=(ba)^2$, de modo que $ba=e$, por lo tanto, $b$ también es el inverso izquierdo.

---

Respuesta a ACTUALIZACIÓN REVISADA

Decidí hacer un seguimiento de esto en una pregunta separada. Vea esta pregunta y respuesta.

Answer 3

No, estos no son suficientes. Considera el conjunto de las dos matrices $$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$$ con respecto a la multiplicación de matrices.