Si cada grupo cociente finito de un grupo lineal finitamente generado G es soluble, entonces G es soluble.

Question

Para esta pregunta, pude demostrar que cada cociente finito es policíclico: Supongamos que $N$ es un subgrupo normal de índice finito. Entonces, todos los subgrupos de $G/N$ son finitos, por lo que $G/N$ es Noetheriano. Un grupo soluble es policíclico si y solo si es Noetheriano. En este punto, no sé cómo continuar o si estoy yendo en la dirección correcta. Estoy familiarizado con Teoremas de Mal'cev, Milnor, Wolf, etc.

¡Agradecería cualquier ayuda!

Answer 1

Sea $G \leq \mathrm{GL}_n(K)$ tu grupo. Sea $f(n)$ la longitud derivada máxima de un subgrupo soluble de $\mathrm{GL}_n(F)$ para cualquier campo $F$ (teorema de Zassenhaus). Supongamos que $g \in G^{(f(n))}$ es no trivial. Por el teorema de Mal'cev, existe un campo finito $F$ y un homomorfismo $\pi : G \to \mathrm{GL}_n(F)$ tal que $\pi(g) \neq 1$. Pero $\pi(g) \in \pi(G)^{(f(n))}$, y $\pi(G)$ es finito y por lo tanto soluble por hipótesis, por lo que esto es una contradicción. Por lo tanto, $G^{(f(n))} = 1$.