Cómo calcular el límite de una función que tiene factorial en el denominador

Question

Para $n$ que tienden al infinito encuentran el siguiente límite $$2^n/n!$$ Tengo la sensación de que es la multiplicación de muchos números, el último se convierte en 0, pero el primero es finito, por lo que el límite debería ser 0. Pero no estoy seguro y tampoco soy capaz de ponerlo en forma matemática.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

$$0<\frac{2^n}{n!}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \dots \cdot \frac{2}{ n} \leq \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} \cdot \left (\frac{2}{3} \right )^{n-2}=2 \left ( \frac{2}{3} \right )^{n-2}$$

Como $n \rightarrow \infty$ , $\left ( \frac{2}{3} \right )^{n-2} \rightarrow 0$

Por lo tanto, a partir del Teorema del Apretón $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n!}=0$$

Answer 2

GRAN PISTA:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x<\infty$$

Answer 3

Puedes utilizar el teorema de d'Alembert para las secuencias entonces tienes inmediatamente:

si $x_n=\frac{2^n}{n!}$ ,

$$\lim_{n\to\infty }\left|\frac{x_{n+1}}{x_n} \right|=\lim_{n\to\infty }\frac{2^{n+1}n!}{(n+1)! 2^n}=\lim_{n\to\infty }\frac{2}{(n+1)}=0<1$$

entonces $$\lim_{n\to\infty }\frac{2^n}{n!}=0.$$

Answer 4

Una forma de abordar este tipo de límites es utilizar el teorema de convergencia monótona, (las secuencias monótonas acotadas reales convergen). Así que para la convergencia es necesario demostrar que 1. la secuencia es monótona, 2. está acotada

Para tu secuencia puedes demostrar que es decreciente utilizando la prueba de la proporción como en la respuesta de idm. Y puedes ver claramente que está acotada por 0. Esto significa que existe un límite, sea $a_n$ sea su secuencia, entonces

$$ a_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} = a_n\frac{2}{n+1} $$

Ahora bien, como sabemos $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ podemos sustituir $a_n$ y $a_{n+1}$ en la ecuación anterior por su límite, cuando $n \to \infty$

$$ a = a(\lim_{n \to \infty}\frac{2}{n+1}) = 0 $$

Answer 5

Una pista: Utilice la inducción para demostrar $\frac{2^n}{n!}\le (\frac{1}{2})^{n-4}$ para $n\ge 4$ .