¿Puedo usar una restricción para resolver sistemas de ecuaciones resultantes de Lagrangianos?

Question

Decir que esta es una función a minimizar: $$F(x,y) = x^4+\frac 1 3 x^3 + \frac 1 2 x^2 - x + y^3$$ sujeto a las siguientes restricciones: $$x^2+x-1=0$$ $$y \geq 5$$ Puedo introducir multiplicadores de Lagrange: $$L(x,y,\alpha,\beta) = x^4+\frac 1 3 x^3 + \frac 1 2 x^2 - x + y^3 + \alpha(x^2+x-1)+\beta(y-5)$$ Entonces, uno de los pasos va a ser establecer $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$, es decir: $$4x^3+x^2+x-1+\alpha(2x+1)=0$$ Dado que $x^2+x-1=0$ es una restricción, ¿puedo reemplazar $x^2+x-1$ en $\frac{\partial L}{\partial x}$ con $0$ para obtener: $$4x^3+\alpha(2x+1)=0$$ y luego proceder a resolver el sistema?

Answer 1

Sí, por supuesto que podemos, de hecho la ecuación de restricción es una parte del sistema a resolver y, por lo tanto, se permite la sustitución en las otras ecuaciones.