Si $D_1, D_2 \in \mathbb R ^2, D_1 \cap D_2 \neq \emptyset$ son dos discos abiertos, entonces $\exists D_{(a, b)} \subset D_1 \cap D_2$

Question

En un ejercicio tengo que demostrar lo siguiente:

Sean $D_1,D_2 \in \mathbb R ^2$ dos discos abiertos con $D_1 \cap D_2 \neq \emptyset$. Si $(a,b)$ es un punto en $D_1 \cap D_2$, muestra que existe un disco abierto $D_{(a,b)}$ con centro en $(a,b)$ tal que $D_{(a,b)} \subset D_1 \cap D_2$.

---

Mi enfoque:

Sean $\bar D_1$ y $\bar D_2$ el cierre de los respectivos conjuntos. Sea $\partial(D_1\cap D_2)$ la frontera de la intersección de $\bar D_1$ con $\bar D_2$. Si denotamos el punto $A=(a,b)$ entonces podemos definir: $\epsilon = \min \{\ \overline{XA},\ \forall X \in \partial(D_1\cap D_2)\}$.

Si definimos $D_{(a,b)}$ como el disco abierto con centro en $(a,b)$ y radio $\frac{\epsilon}{2}$, entonces $D_{(a,b)} \subset D_1 \cap D_2$.

---

¿Es válida esta demostración? De ser así, ¿es este argumento suficiente o necesito probar o agregar algo más? ¿Qué otras formas interesantes existen para demostrar esto?

Answer 1

Por el bien de la curiosidad, aquí hay una solución alternativa basada en el concepto de distancia.

Sea $(X,d_{X})$ un espacio métrico. Entonces cualquier bola abierta es abierta como se ha demostrado aquí. Basándonos en ello, podemos resolver el ejercicio propuesto.

Consideremos dos bolas abiertas $B(x_{0},\delta)$ y $B(y_{0},\varepsilon)$ cuya intersección $B(x_{0},\delta)\cap B(y_{0},\varepsilon)$ no es vacía.

Sea $y\in B(x_{0},\delta)\cap B(y_{0},\varepsilon)$. Entonces concluimos que existen $B(y,r_{1})\subseteq B(x_{0},\delta)$ y $B(y,r_{2})\subseteq B(y_{0},\varepsilon)$ para algunos números reales positivos $r_{1}$ y $r_{2}$.

Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $r_{1}\leq r_{2}$. Entonces $B(y,r_{1})\subseteq B(y,r_{2})\subseteq B(y_{0},\varepsilon)$.

Basándonos en los argumentos anteriores, finalmente concluimos que $B(y,r_{1})\subseteq B(x_{0},\delta)\cap B(y_{0},\varepsilon)$, y hemos terminado.

Espero que sea útil.