Equivalencia métrica de métricas en espacios métricos de productos

Question

Suponiendo que tenemos $\{(X_j,d_j)\}_{j=1}^n$ espacios métricos y tenemos una métrica $\rho$ que induce la misma topología en $X:=\prod_{j=1}^nX_j$ a partir de la topología del producto. ¿Es siempre el caso para cualquier $1\geq \alpha_1,...,\alpha_n>0$, que la métrica $\hat{d}(x,y)=\sum_{j=1}^n \big( d_j(x_j,y_j)\big)^{\alpha_j}$ para $x=(x_1,...,x_n ) \in X$ y $y=(y_1,...,y_n)\in X$, es equivalente a $\rho$?[cambiado de d aquí] es decir, ¿inducen la misma topología?

Creo que la respuesta es sí, pero quería verificarlo. Mi lógica es la siguiente:

1. Para cualquier $1\geq \alpha>0$ y $a_1,a_2>0$ tenemos que $(a_1+a_2)^\alpha\leq a_1^\alpha+ a_2^\alpha$.

2. Dada una métrica $d$ en un espacio métrico $Z$, $\tilde{d}(z_1,z_2)=\big( d(z_1,z_2) \big)^\alpha$ es una métrica en $Z$. Además, las bolas con respecto a $d$ contienen las bolas con respecto a $\tilde{d}$. Por lo tanto, $d$ y $\tilde{d}$ generan la misma topología.

3. Una base para $X=\prod_{j=1}^n$ está dada por el producto de conjuntos abiertos en cada coordenada. Por lo tanto, dado que las métricas $\hat{d_j}=d^{\alpha_j}$ tienen los mismos conjuntos abiertos que $d_j$, una base consistente en el producto de bolas con respecto a $\hat{d_j}$ es también una base para $X$.

4. Dado que la topología inducida por $\rho$ es igual a la topología del producto, $\rho$ y $\hat{d}$ son equivalentes.

Creo que esto es cierto, pero tengo la sensación de que podría haber pasado por alto algo. Mi motivación original es argumentar mediante algunos argumentos abstractos generales que $\sum_{j=1}^d \vert x_j-y_j\vert^{\alpha_j}$ es siempre una métrica equivalente a la Euclidiana.

Answer 1

Esta respuesta resume mis comentarios.

1. Necesitas asumir $0<\alpha_i\leq 1$ para garantizar que la nueva función $\hat{d}$ sea una métrica, ya que en ese caso tenemos para todo $i$: $$ (d_i(x,y)+d_i(y,z))^{\alpha_i} \leq d_i(x,y)^{\alpha_i}+d_i(y,z)^{\alpha_i} \quad \forall x,y\in X_i$$ mientras que si usamos, por ejemplo $\alpha=2$, entonces vemos $$(1+1)^2>1^2+1^2$$

2. Si tienes dos métricas diferentes $\rho_1$ y $\rho_2$ en un conjunto no vacío $\Omega$ y demuestras que para cada $x \in \Omega$ y cada $\epsilon>0$ existen constantes positivas $\delta_1$ y $\delta_2$ (que pueden depender de $x$ y $\epsilon$) tales que \begin{align} &\rho_1(x,y) < \delta_1 \implies \rho_2(x,y)<\epsilon\\ &\rho_2(x,y)<\delta_2\implies \rho_1(x,y)<\epsilon \end{align}
   entonces las dos métricas generan los mismos conjuntos abiertos, lo que significa que toda unión de bolas abiertas con respecto a una métrica también es una unión de bolas abiertas con respecto a la otra métrica.

3. Para tu problema, si defines $\Omega = \times_{i=1}^n X_i$ y utilizas el hecho de que $\rho_1(x,y) = \sum_{i=1}^n d_i(x,y)$ es una métrica que genera la topología del producto deseada en $\Omega$, puedes definir $\rho_2(x,y)=\sum_{i=1}^n d_i(x,y)^{\alpha_i}$. Luego, para cada $\epsilon>0$ y cada $x=(x_1, ..., x_n) \in \Omega$ puedes encontrar $\delta_1>0$ y $\delta_2>0$ que satisfacen el punto 2 anterior.