Utilice el Teorema del Valor Medio para mostrar que si $|f'(x)| ≤ C<1$, entonces $f$ tiene como máximo un punto fijo

Question

Usa el Teorema del Valor Medio para demostrar que: si $|f'(x)| C < 1$ $\forall x$, entonces $f(x) = x$ tiene a lo sumo una solución.

Así que usando el Teorema del Valor Medio sé que $$-1<-C\leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq C<1$$

Puedo manipular esta desigualdad, pero estoy confundido sobre lo que significa "a lo sumo una solución". Obviamente, la derivada de $f(x)=x$ es $1$, lo cual no se cumple con la desigualdad presentada en el problema?

Cualquier aclaración/pistas serían apreciadas.

Answer 1

Digamos que $f(x)=x$ y $f(y)=y$. Entonces el cociente diferencial $\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$ es igual a $1$, contradiciendo la desigualdad del Valor Medio.