$\forall x\exists \epsilon>0$ tal que $\forall 0<y<\epsilon$, $f(x+y)=f(x)$. Mostrar que $f(1)=f(0)$

Question

$f(0)=1$, para cualquier $x$ existe un $\epsilon>0$ tal que $\forall 0, $f(x+y)=f(x)$. ¿Es posible demostrar que $f(1)=1$?

Lamento mucho haber olvidado incluir que $y$ debe ser mayor que cero! De lo contrario, la solución es obvia y no involucra ningún análisis real.

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Parece realmente obvio: intuitivamente por inducción, $f(nc)=1$ para cualquier $n\in\mathbb N$, y algún $c$. Sin embargo, no estoy seguro de que si $\epsilon$ es infinitesimal, entonces podría no existir un $n$ tal que $n\epsilon=1$.

Answer 1

Se nos da $$\tag1 \forall x\;\exists \epsilon>0\;\forall y<\epsilon\;f(x+y)=f(x).$$ Especializando con $x=1$: $$ \exists \epsilon>0\;\forall y<\epsilon\;f(1+y)=f(1).$$ Así que para $\epsilon$ positivo adecuado, $$ \forall y<\epsilon\;f(1+y)=f(1).$$ Especializando con $y=-1$ (lo cual ciertamente es $<\epsilon$): $$ f(0)=f(1).$$

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Después de una edición de la pregunta: Se nos da $$\tag2 \forall x\;\exists \epsilon>0\;\forall 0 Entonces tenemos un contraejemplo, dado por $$f(x)=\lfloor x\rfloor+1.$$ Entonces $(2)$ es cierto ya que podemos elegir $\epsilon=1>0$ cuando $x\in \Bbb Z$, y $\epsilon=\lceil x\rceil -x>0$ en otro caso. Sin embargo, $f(1)=2\ne f(0)$.

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Así que asumamos adicionalmente que $f$ es continua en $[0,1]$. Si $f$ es constante en $[0,1]$ hemos terminado. Así que asumamos que no lo es y sea $S=\{\,x\in[0,1]\mid f(x)\ne f(0)\,\}\ne\emptyset$ y $a=\inf S$. Por continuidad, $f(a)=f(0)$ y por lo tanto $f(x)=f(0)$ para $x\in[0,a]$. Así que si $a=1$ hemos terminado. Pero si $a<1$, existe $\epsilon>0$ con $f(x)=f(a)$ para $a. Se sigue que $[0,a+\epsilon)\cap S=\emptyset$ y por lo tanto $a\ge a+\epsilon$, contradicción.

Answer 2

Considera la función
$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{ si } x <1 \\ 0 &\text{ si } x \geq 1\end{cases}$$ Satisface tus condiciones pero $f(1)\neq 1$.

De hecho, $f(0)=1$, y para cualquier $x$ existe un $\epsilon>0$ dado por $$\epsilon(x) = \begin{cases} 1-x & \text{ si } 0 tal que $f(x+y)=f(x)$, $\forall y\in (0,\epsilon)$.

La afirmación dada se cumple si asumimos que $f$ es continua en $[0,1]$.

Answer 3

Si la pregunta es: $\forall x\exists \epsilon>0$ tal que $\forall 0, $f(x+y)=f(x)$. Muestra que $f(1)=f(0)$, entonces la afirmación es falsa. Considera la función $$f(x) = \begin{cases}0 & \text{ si } x < 0.5 \\ 1 &\text{ de lo contrario.}\end{cases}$$ Cuando $x$ es menor que $0.5$, toma $\epsilon = 0.5-x$. Cuando $x \ge 0.5$, $\epsilon$ puede ser cualquier cosa.

Si la pregunta es: $\forall x\exists \epsilon>0$ tal que $\forall y, |y|<\epsilon$, $f(x+y)=f(x)$. Muestra que $f(1)=f(0)$:

Pista: ¿Cuál es la derivada de $f$?

Answer 4

¿Estás asumiendo que $f$ es continua? Si no, un contraejemplo sería $f(x)=1$ para $0\le x<\frac12$ y $f(x)=2$ para $\frac12\le x\le1$.

Esto es realmente una variación de la demostración de que $[0,1]$ es conexo. Yo asumiría algo más débil que lo que indicas, es decir, asumiría que:

$f(0)=1$, para cualquier $x$ existe un $\epsilon>0$ tal que cuando $0, tenemos que $f(x+y)=f(x)$. (Al parecer, esto ya fue corregido en la afirmación.)

Sea $A=\{x\in[0,1]:f(x)=1\}$. Entonces $0\in A$. (Terminaré cuando confirmes que se está asumiendo que $f$ es continua. Bueno, esto ya fue hecho en otra respuesta, ¡pero lo incluiré de todos modos!) Por lo tanto, asumamos que $f$ es continua y sea $a=\sup(A)$. Por continuidad, tenemos que $f(a)=1$. Si $a=1$ entonces hemos terminado. Si $a<1$ entonces $f(a+y)=1$ para algún $\varepsilon>0$ y todo $0, por lo que $a\ge a+\varepsilon$, lo cual es una contradicción.