Asíntota de la integral gaussiana

Question

Me gustaría obtener el comportamiento asintótico a medida que $x \rightarrow -\infty$ de la siguiente función $f(x)$:

$$f(x)= c e^{\frac{a x^2}{2}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{a \eta^2}{2}} d \eta$$

donde $a~\text{ y}~ c$ son constantes. ¿Cómo se puede obtener el comportamiento asintótico? Intenté expansiones de Taylor para el exponencial y luego integrando eso pero no lo entiendo completamente.

Answer 1

Puedes aplicar la integración por partes: $$e^{a x^2/2} \int_{-\infty}^x -\frac 1 {a \eta} d(e^{-a \eta^2/2}) = -\frac 1 {a \eta} e^{a x^2/2 - a \eta^2/2} \bigg \rvert_{\eta = -\infty}^x - e^{a x^2/2} \int_{-\infty}^x \frac 1 {a \eta^2} e^{-a \eta^2} d\eta$$ y demostrar que el segundo término en la parte derecha es asintóticamente más pequeño, o puedes aplicar el método de Laplace: $$e^{a x^2/2} \int_{-\infty}^x e^{-a \eta^2/2} d\eta = \int_{-\infty}^0 e^{-a x u - a u^2/2} du \sim e^{-a u^2/2} \bigg \rvert_{u = 0} \int_{-\infty}^0 e^{-a x u} du.$$