Usando arandelas, el intervalo de integración será a lo largo del eje $y$ desde $y = 0$ hasta $y = 9$. El radio interno como función del valor de $y$ será $r(y) = 3 - \sqrt{y}$, y el radio externo será $R(y) = 3 - y/3$; por lo tanto, el volumen diferencial de una arandela con grosor $dy$ es $$dV = \pi(R(y)^2 - r(y)^2) \, dy = \pi((3 - y/3)^2 - (3-\sqrt{y})^2) \, dy,$$ y el volumen total está dado por la integral $$V = \pi \int_{y=0}^9 (3 - y/3)^2 - (3-\sqrt{y})^2 \, dy.$$
Usando cilindros, el intervalo de integración será a lo largo del eje $x$ desde $x = 0$ hasta $x = 3$. La altura del cilindro está dada por la diferencia de las funciones $y = x^2$ y $y = 3x$, entonces $h(x) = 3x - x^2$ (ya que $3x \ge x^2$ en $x \in [0,3]$). La circunferencia de un cilindro representativo es simplemente $2\pi(3-x)$, por lo tanto su volumen diferencial es $$dV = 2\pi(3-x)(3x-x^2) \, dx,$$ y el volumen total es $$V = \int_{x=0}^3 2\pi(3-x)(3x-x^2) \, dx.$$ Ambos cálculos dan el mismo resultado.