1 votos

Encontrar el Volumen del Sólido - Método de la Arandela

La región entre las gráficas de $y=x^2$ y $y=3x$ se gira alrededor de la línea $x=3$

¿Cuál es el volumen del sólido resultante?

Dibujé el gráfico y vi que debería usar el método de la arandela. Dado que la región estaba siendo girada en $x=3$, tendría que asegurarme de restar las dos funciones de 3 y luego restar esas dos, pero no parecía obtener la respuesta correcta.

3voto

heropup Puntos 29437

Usando arandelas, el intervalo de integración será a lo largo del eje $y$ desde $y = 0$ hasta $y = 9$. El radio interno como función del valor de $y$ será $r(y) = 3 - \sqrt{y}$, y el radio externo será $R(y) = 3 - y/3$; por lo tanto, el volumen diferencial de una arandela con grosor $dy$ es $$dV = \pi(R(y)^2 - r(y)^2) \, dy = \pi((3 - y/3)^2 - (3-\sqrt{y})^2) \, dy,$$ y el volumen total está dado por la integral $$V = \pi \int_{y=0}^9 (3 - y/3)^2 - (3-\sqrt{y})^2 \, dy.$$

Usando cilindros, el intervalo de integración será a lo largo del eje $x$ desde $x = 0$ hasta $x = 3$. La altura del cilindro está dada por la diferencia de las funciones $y = x^2$ y $y = 3x$, entonces $h(x) = 3x - x^2$ (ya que $3x \ge x^2$ en $x \in [0,3]$). La circunferencia de un cilindro representativo es simplemente $2\pi(3-x)$, por lo tanto su volumen diferencial es $$dV = 2\pi(3-x)(3x-x^2) \, dx,$$ y el volumen total es $$V = \int_{x=0}^3 2\pi(3-x)(3x-x^2) \, dx.$$ Ambos cálculos dan el mismo resultado.

2voto

Dunc Puntos 4360

El volumen por arandelas se puede utilizar en este caso si apilas tus arandelas de forma paralela al eje $x$, centradas en $x=3$. Identifica el radio exterior $R$ (como una función de $y$, ya que cada arandela se determina por lo alto que esté apilada) y el radio interior (una vez más, como una función de $y); el volumen de cada arandela delgada es $\pi(R^2 - r^2)\,\Delta y$ y el volumen total es $\pi\int_0^9(R^2 - r^2)\,dy$.

-1voto

Jimmy Kang Puntos 15

enter image description hereCreo que podría ser calculado por esto

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X