Subgrupos de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ que no están generados finitamente

Question

El grupo $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ se genera de forma finita: tomemos por ejemplo las matrices diagonales, las permutaciones y una matriz elemental (triangular superior). ¿Existen algunos ejemplos sencillos / agradables de subgrupos no generados finitamente? Si es posible, para $n$ no demasiado grande.

Answer 1

Para $n \ge 2$ , $GL(n,\mathbb{Z})$ contiene un subgrupo isomorfo al grupo libre de rango 2 $F_2$ (este es un caso muy simple de la alternativa Tits). El subgrupo conmutador de $F_2$ no está generada finitamente.

Answer 2

Quiero utilizar la misma idea que Lee Mosher, basada en el conocido subgrupo libre, pero dando un ejemplo más explícito (es decir, los generadores tienen una forma más bonita). En el grupo libre $F(a, b)$ el conjunto $\{a^kba^k:k\in\mathbb{Z}\}$ genera libremente un grupo libre sobre un número contable de generadores (para una prueba, véase aquí ). Así, las matrices de la siguiente forma generan un grupo no generado infinitamente de $GL(2,\mathbb{Z})$ . $$ \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 2&1 \end{array} \right)^k \left( \begin{array}{cc} 1&2\\ 0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 2&1 \end{array} \right)^k $$ Estas matrices se ven fácilmente que tienen la siguiente forma. $$ \left( \begin{array}{cc} 4k+1&2\\ 4k(2k+1)&4k+1 \end{array} \right) $$

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A modo de apunte, $\operatorname{GL}(n, \mathbb{Z})$ también contiene grupos generados finitamente que no son finitamente presentables. No se me ocurre una prueba obvia de este hecho, y de hecho mi razonamiento requiere algunos resultados serios. El primer resultado se refiere a los grupos de cancelación pequeños. Los grupos de cancelación pequeña son grupos con presentaciones en los que los relatores no interactúan mucho entre sí (cualquier cancelación entre los relatores es "pequeña"). Es un resultado reciente, que utiliza una maquinaria bastante complicada, que tales grupos son lineales sobre $\mathbb{Z}$ Así que dado un pequeño grupo de cancelación $G$ existe algún $n$ tal que $G$ se incrusta en $\operatorname{GL}(n, \mathbb{Z})$ . Es entonces un resultado de Rips que existen pequeños grupos de cancelación que contienen subgrupos finitamente generados que no son finitamente presentables: véase el artículo de Rips Subgrupos de pequeños grupos de cancelación .