Comportamiento de ecuación diferencial no lineal

Question

La ecuación diferencial no lineal se define de la siguiente manera $$\begin{cases}\frac{dx}{dt}=-\frac{1}{t^n}x+\frac{1}{t^m} (t>1)\\ x(1)=x_0 \end{cases}$$ donde $n, m$ son enteros positivos. Quiero encontrar todos los pares $(n,m)$ tales que exista $\lim_{t\rightarrow \infty}x(t)$.

Mi idea: Primero resolví la ecuación diferencial lineal $$ \frac{dx}{dt}=-\frac{1}{t^n}x $$ Si $n=1$, la solución es $x(t)=\frac{A}{t} (A\in \mathbb{R})$ . Considerando $A$ como función de $t$ sustituí la solución y obtuve $A=-\frac{1}{mt^m}$ y $\lim_{t\rightarrow \infty}x(t)=0$. Tengo problemas cuando $n\geq 2$. De manera similar obtuve $$ x(t)=A\exp\left(\frac{1}{(n-1)t^{n-1}}\right) $$ como solución de la ecuación lineal anterior. Considerando de nuevo $A$ como función, obtuve $$ \frac{dA}{dt}=\frac{1}{t^m}\exp\left(-\frac{1}{(n-1)t^{n-1}}\right)$$ Pero pienso que esta ecuación diferencial no se puede resolver de manera general. ¿Cuándo converge $\lim_{t\rightarrow \infty}x(t)$? Por favor, dame algún consejo.

Answer 1

Primero: la integral \begin{equation} \int_1^t \tau^{-m} \text{exp} \left(-\frac{1}{(n-1)\tau^{n-1}}\right)\,\text{d}\tau \end{equation> existe, y puede expresarse en términos de la función Gamma incompleta, ver también DLMF y MathWorld. Introduciendo ahora \begin{equation} s = \frac{t^{1-n}}{n-1} \quad \Longleftrightarrow \quad t = \left((n-1)s\right)^{\frac{1}{1-n}}, \tag{1} \end{equation> la solución que encuentras se expresa como \begin{equation> x(s) = e^s \left(c_1 + (n-1)^{\frac{m-n}{n-1}} \Gamma\left(\frac{m-1}{n-1},s\right)\right), \tag{2} con $c_1$ una constante (que puede expresarse en términos de $x_0$). Nota que también podrías haber encontrado $(2)$ usando la transformación de variable $(1)$ en la EDO original, utilizando $-t^n \frac{\text{d} x}{\text{d} t} = \frac{\text{d} x}{\text{d} s}$.

De cualquier manera, para $n>1$, el límite $t \to \infty$ se reemplaza por el límite $s \downarrow 0$. Ahora, usando cualquiera de los enlaces mencionados anteriormente, puedes inferir que \begin{equation> \lim_{s \downarrow 0} \,\Gamma\left(\frac{m-1}{n-1},s\right) = \Gamma\left(\frac{m-1}{n-1}\right), \end{equation> siempre y cuando $\frac{m-1}{n-1}>0$. La función Gamma (completa) $\Gamma(z)$ está definida para todos los $z$ positivos, por lo que el límite de $(2)$ existe para todos los $m>1$.

Sin embargo, para $m=1$, tenemos que $\Gamma(0,s) = -\text{Ei}(-s)$ (ver p. ej. 1), y la integral exponencial $\text{Ei}(x)$ tiene una singularidad logarítmica cuando $x \to 0$. Para concluir: el límite original $\lim_{t\to \infty} x(t)$ existe para todos los enteros positivos $m$, $n$, excluyendo el conjunto $\{m=1,n>1\}$.