En mecánica estadística calculamos el elemento de volumen en el espacio de momento como $4\pi p^2 dp$ para calcular el microestado en el espacio de fase, pero no entiendo por qué lo escribimos en coordenadas esféricas polares. ¿Es completamente adecuado escribirlo en coordenadas esféricas polares? Leí en algún lugar que podemos escribirlo porque el momento en cada dirección es igualmente probable de ocurrir y $\langle p_x ^2\rangle =\langle p_y^2\rangle = \langle p_z^2\rangle$ O algo así. Pero no lo entiendo completamente. Entonces por favor explícame esto.
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Javier
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Esto es válido siempre y cuando la función que estamos integrando solo dependa de $p$ y no de su dirección, por el mismo argumento utilizado al integrar funciones que solo dependen de $r$ en coordenadas esféricas.
Cuando calculamos integrales sobre el momento, tenemos algo como
$$I = \int dp_x dp_y dp_z \, f(\mathbf{p})$$
Pero si $f(\mathbf{p}) = f(|\mathbf{p}|)$, podemos cambiar a coordenadas esféricas, y dado que la integrando no depende de las variables angulares $\theta$ y $\varphi$, podemos simplemente hacer esas integrales para obtener el elemento de volumen:
$$I = \int_0^{2\pi} d\varphi\, \int_0^\pi d\theta\, \sin \theta \int_0^\infty dp\, p^2 f(p) = 4\pi \int_0^\infty dp\, p^2 f(p)$$
No es una buena idea pensar en esto en términos generales, es decir, "en la mecánica estadística, esto es lo que hacemos". Lo hacemos cuando es un truco matemático útil hacerlo. Eso es todo.
En tu caso específico, supongo que estás hablando de un hamiltoniano que depende solo de $|p|^2$, y no de las componentes de $p$, debido a la isotropía del sistema.
Entonces, si estás tratando con una integral de la forma $$ \int e^{-H(|p|^2)}d^3p$$ es más inteligente convertirla en $$ \int e^{-H(|p|^2)}4\pi |p|^2d|p|.$$
Esto es puramente matemático, no hay física aquí. Si esto no responde tu pregunta, entonces puede que necesitemos saber más sobre el cálculo específico que estás tratando de resolver. Pero sí, tu intuición es correcta, esto se debe a que tu sistema no diferencia entre las direcciones $x, y, z$.
