Supongamos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función continuo por la derecha que es continua en puntos racionales. Está claro que f no necesita ser continua. De hecho, no logra ser RCLL. Ahora me pregunto si f es continua casi en todas partes con respecto a la medida de Lebesgue. Supongo que la respuesta es "no", pero no puedo encontrar un contraejemplo. ¿Podría alguien ayudar a comentar sobre esto? ¡Gracias!
Respuesta
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Sea $D$ el conjunto de puntos de discontinuidad de $f$, y sea $\mathscr{I}$ el conjunto de intervalos abiertos con puntos finales racionales. Para cada $x\in D$ existe un $I_x\in\mathscr{I}$ tal que $f(x)\in I_x$ y existe una secuencia $\langle y_x(n):n\in\Bbb N\rangle$ que converge a $x$ tal que $f\big(y_x(n)\big)\notin I_x$ para cada $n\in\Bbb N$. Si $D$ es innumerable, existen un $D_0$ innumerable contenido en $D$ y un $I\in\mathscr{I}$ tal que $I_x=I$ para cada $x\in D_0.
Supongamos que para cada $x\in D_0$ existe un racional $q_x>x$ tal que $(x,q_x)\cap D_0=\varnothing$. Claramente esto implica que $q_x\leq y$ siempre que $x,y\in D_0$ con $xx$.
Para cada $n\in\Bbb N$ fijar $x_n\in(x,x+2^{-n})\cap D_0$. Dado que $x_n\in D_0$, hay una secuencia $\langle y_{x_n}(k):k\in\Bbb N\rangle$ que converge a $x_n$ tal que $f\big(y_{x_n}(k)\big)\notin I$ para cada $k\in\Bbb N$. En particular, debe haber un punto $y_n\in(x,x+2^{-n})$ tal que $f(y_n)\notin I$. Entonces $\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ converge a $x$ desde la derecha, por lo que $f(x)\notin I$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $D$ debe ser contable y por lo tanto de medida de Lebesgue $0$.
