¿Cómo encontrar este límite?!

Question

¿Cómo aplico la Regla de L'Hôpital al siguiente límite?

$\lim_{x->\infty}e^{tx-(\ln(x))^2/2}$

¡Gracias!

Answer 1

Está claro que la respuesta es $0$ si $t\le 0$.

Para $t\gt 0$, no utilizaría directamente la Regla de L'Hospital en la función, sino que analizaría el comportamiento del exponente.

Para $t\gt 0$, "sabemos" que $tx-\frac{1}{2}\ln^2 x$ tiende a infinito cuando $x\to\infty$. Por lo tanto, nuestra función original también tiende a infinito.

Si queremos ser formales al respecto, reescribimos el exponente como $$x\left(t+ \frac{\ln^2 x}{2x}\right).\tag{1}$$ Utilizaremos la Regla de L'Hospital para mostrar que $$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln^2 x}{2x}=0.$$ Una aplicación de la Regla de L'Hospital muestra que
$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln^2 x}{2x}=\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{2x}.$$ Una segunda aplicación de la Regla muestra que el límite es $0$.

Por lo tanto, $t+ \frac{\ln^2 x}{2x}$ tiene límite $t$, y por lo tanto el límite en (1) es "$\infty," o, si se prefiere, no existe.

Answer 2

$$ e^{tx-1/2\,\log(x)^2}=e^{tx}/x^{1/2\,\log x} $$