Si $H$ es un buen subgrupo de un $p$grupo $G$, $H$ es adecuada en $N_G(H)$.

Question

Deje $H$ ser un adecuado subgrupo de $p$grupo $G$. Muestran que el normalizador de la $H$$G$, denotado $N_G(H)$, es estrictamente mayor que $H$, $H$ está contenida en un subgrupo normal de índice $p$.

Aquí es lo que tengo hasta ahora:

• Si $H$ es normal, $N_G(H)$ es de $G$ y hemos terminado.
• Si $H$ no es normal, supongo que por el bien de la contradicción que $N_G(H)=H$. Entonces no hay ningún elemento fuera de $H$ que corrige $H$ por conjugación. Pero el centro de la $Z(G)$ $G$ corrige $H$, lo $Z(G)$ debe ser un subgrupo de $H$.

No sé si voy en el camino correcto o no, pero de cualquier manera puede realmente no creo que mi manera de salir de este... Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Usted está en el camino correcto. Ahora mira en el subgrupo de $H/Z$$G/Z$. Por inducción, su normalizador es estrictamente mayor que $H/Z$. Dicen que contiene el residuo de la clase $\overline x$ $x \in G$ donde $\overline x \not\in H/Z$. Ahora muestran que $x$ también normaliza $H$ $G$ para obtener una contradicción.