Una situación consta de $e$ montones de tamaño par y $o$ montones de tamaño impar, no vacíos. Afirmo que ganar o perder depende solo de $(e,o)$. Sea $W$ el conjunto de posiciones $(e,o)$ que son ganadoras y $L$ el conjunto de $(e,o)$ que son posiciones perdedoras.
Afirmación. Tenemos $$W=\{\,(e,o)\mid o\text{ impar}\lor(e\text{ par}\land e\ne 0)\,\}$$ y $$L=\{\,(e,o)\mid o\text{ par}\land (e\text{ impar}\lor e=0)\,\}.$$
Prueba. Dado que el juego debe terminar después de un número finito de movimientos, basta con mostrar que cada movimiento válido desde una situación $\in L$ nos lleva a una situación $\in W$, y que para cada situación $\in W$, existe un movimiento válido a una situación $\in L$.
Comencemos con $(e,o)\in L$:
Primer caso: $o$ es par y $e=0$. Al quitar una piedra de cualquier montón (necesariamente impar), disminuye $o$ a un número impar, por lo tanto nos lleva a $W$. Combinar dos montones (necesariamente impares) también disminuye $o$ en uno, por lo tanto nos lleva a $W$. Concluimos que $(o,0)\in L$ para $o$ impar.
Segundo caso: $o$ es par y $e$ es impar. Al quitar una piedra de un montón impar, o combinar dos montones impares, o combinar un montón impar y otro par, disminuye $o$ a impar, por lo tanto nos lleva a $W$. Al quitar una piedra de un montón par aumenta $o$ a impar, por lo tanto nos lleva a $W$. Finalmente, combinar dos montones pares (lo cual solo es posible si $e\ge 3$) nos lleva a $(e',o')=(e-1,o')$ con $e'$ par y positivo, por lo tanto nuevamente a $W$.
Por lo tanto, en efecto, cada movimiento válido desde una situación $\in L$ nos lleva a una situación $\in W$.
A continuación consideramos $(e,o)\in W$:
Primer caso: $e$ es par y positivo. Si $o$ es par, podemos combinar dos montones pares para llegar a $(e',o')=(e-1,o)\in L$. Si $o$ es impar, podemos quitar una piedra de uno de los montones pares y llegar a $(e',o')=(e-1,o+1)\in L$.
Segundo caso: $o$ es impar y $e=0$. Al quitar una piedra de un montón impar, llegamos a $(e',o')=(1,o-1)\in L$ o (si vaciamos un montón) a $(e',o')=(0,o-1)\in L$.
Tercer caso: $o$ es impar y $e$ es impar. Combina un montón impar y uno par para llegar a $(e',o')=(e,o-1)\in L$.
Estos casos cubren lógicamente todo $W$. Por lo tanto, de hecho, desde cada situación en $W$, existe un movimiento válido a $L$. $\square$
