¿Cuál es el valor de $\sum_{p\le x} 1/p^2$?

Question

Mi pregunta es ¿cuál es el valor de $$\sum_{p\le x} \frac{1}{p^2}?$$ Más generalmente, ¿cuál es el valor de $$\sum_{p\le x} \frac{1}{p^n}?$$ ¿Cómo podemos encontrarlo?

Para $\sum_{p\le x} 1/p$ la idea es usar la suma $\sum_{p\le x}\ln p/p$ y la fórmula de suma de Abel. De hecho, ¿podemos encontrar alguna expresión para algo como mi pregunta? Cuando uso la fórmula de suma de Abel para $\sum_{px}1/p$ y $\sum_{px}\ln(p)/p$ aparecen algunas integrales difíciles.

¿Podrías por favor ayudarme? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Probablemente no podrás encontrar una representación en forma cerrada para estas sumas en términos de funciones que considerarías simples o elementales. Sin embargo, si $\Re(n)>1$ y definimos la siguiente constante:

$$C_n=\sum_{k=2}^\infty \frac{\mu(k)\ln(\zeta(nk))}{k}$$

Entonces puedes reescribir tu suma como:

$$\sum_{p\leq x}\frac{1}{p^n}=\sum_{p}\frac{1}{p^n}-\sum_{p>x}\frac{1}{p^n}=C_n+\frac{\pi(x)}{x^n}-n\int_{x}^\infty \frac{\pi(t)}{t^{n+1}} dt$$

Lo cual, si asumimos la veracidad de la Hipótesis de Riemann, nos daría que:

$$\sum_{p\leq x}\frac{1}{p^n}=C_n+\frac{\text{Li}(x)}{x^n}-n\int_{x}^\infty\frac{\text{Li}(t)}{t^{n+1}}dt+O(\frac{\ln(x)}{x^{n-1/2}})$$