Supongamos que tenemos dos funciones que se encuentran en un punto, ¿significa esto que sus derivadas también se encontrarían en un punto?

Question

El título está incorrecto, soy consciente de eso, sin embargo, me encontré con una pregunta que dice que está correcto. Debo estar pasando por alto algo, por favor ayúdenme a encontrarlo. Gracias a todos por su ayuda.

Dadas dos funciones $h(x) = p-\cos(x)$ y $k(x) = \sin^2(x)$ en el intervalo $[0,\pi]$ determinar el conjunto de valores de $p$ para que las gráficas de las dos funciones se encuentren dentro del intervalo dado.

Mis pensamientos: generalmente la forma de encontrar la respuesta a este tipo de problemas es simplemente igualar las dos ecuaciones entre sí, sin embargo, en este caso, está la variable p por lo que no podemos hacer eso. Pero después de ver cómo lucen las gráficas, pensé en derivar las dos funciones y igualarlas entre sí lo cual resulta ser correcto. Sin embargo, no sé por qué es correcto ya que no podemos hacer esto en todos los casos.

Mi intuición me dice que es algo muy simple que de alguna manera estoy ignorando, pero simplemente no sé qué es, así que de nuevo, gracias por su ayuda

Answer 1

Elige cualquier número $\theta$ en el intervalo $(0,\pi)$ y deja que $p_\theta=\sin^2(\theta)+\cos(\theta)$. Entonces $(\theta,\sin^2(\theta))$ es un punto de intersección de las gráficas de $p_\theta-\cos(x)$ y $\sin^2(x)$. Por lo tanto, esto muestra que hay muchos parámetros $p$ para que $p-\cos(x)$ y $\sin^2(x)$ tengan un punto de intersección en el intervalo $(0,\pi)$. De hecho, puedo encontrar un parámetro para cualquier elección de $\theta$ en $(0,\pi)$.

Lo que hiciste fue centrarte en $\theta=\pi/3$ al igualar las derivadas entre sí. Luego calculaste $p_{\pi/3}=\sin^2(\pi/3)+\cos(\pi/3)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$. Así que en este caso, diría que usar derivadas fue una distracción.

Ahora, podrías decir que para $\theta=\pi/3$, obtienes un punto de intersección tanto para las funciones originales como para sus derivadas. Esta es la única elección de $\theta$ donde esto sucede a menos que permitas que los extremos $0$ o $\pi$ sean el valor de $x$. Si permitieras estos valores, obtendrías $(0,0)$ o $(\pi,0)$ como un punto de intersección tanto para $\pm 1-\cos x$ como para $\sin^2(x)$, al igual que para sus derivadas. Estas soluciones aparecen en tus cálculos en el punto en que simplificaste $2\sin x\cos x= \sin x$ a $\cos x=\frac{1}{2}$ ya que debes tener en cuenta que $\sin x = 0$.

Answer 2

The following figure could have been drawn by hand. It shows the curves $y=h_p(x):=p-\cos x$ and $y=k(x):=\sin^2 x$ for the maximal and the minimal values of $p$ that give $\geq1$ points of intersection in the interval $0\leq x\leq\pi$. These special values $p_\max$ and $p_\min$ lead to special "graphical" conditions that determine their values. In the case of $p_\max$ we indeed have equalities $$h_p(x)=k(x)\qquad\wedge\qquad h_p'(x)=k'(x)$$ for a certain (unknown) $x$, whereas in the case of $p_\min$ we see that the incidence point is at $x=\pi$.