Segunda derivada distribucional del coseno

Question

Necesito calcular la segunda derivada distribucional de la función

$$ g(x) = cos|x-2|, $$

pero no estoy seguro de mi solución.

\begin{align} \left = \left &= \int^{\infty}_{-\infty} \underbrace{cos|x-2|}_u \cdot \underbrace{\varphi''(x)}_{v'} dx \\ &= \Big| \begin{array}{@{}cc@{}} u=cos|2-x| & u'=sin(2-x) \\ v = \varphi'(x) & v'= \varphi''(x) \end{array} \Big|\\ &=\underbrace{\left[ cos|x-2| \cdot \varphi'(x) \right]^\infty_{-\infty}}_0 - \int^\infty_{-\infty} \underbrace{sin(2-x)}_u \cdot \underbrace{\varphi'(x)}_{v'} dx\\ &= \Big| \begin{array}{@{}cc@{}} u=sin(2-x) & u'=- cos(2-x) \\ v = \varphi(x) & v'= \varphi'(x) \end{array} \Big|\\ &= - \underbrace{\left[ sin(2-x) \cdot \varphi(x) \right]^\infty_{-\infty}}_0 + \int^\infty_{-\infty} - cos(2-x) \cdot \varphi(x) dx \end{align}

Entonces, ¿es $- cos(2-x)$ la derivada distribucional correcta?

Answer 1

Tus cálculos son exactos pero puedes evitarlos.

De hecho, hay un resultado general que dice que, hasta su $n$-ésima derivada (incluyéndola), las derivadas distribucionales y las derivadas ordinarias de una función $C^n$ coinciden.

En este caso, donde de hecho tratamos con una función $C^{\infty}$ ($\cos(|x-2|)$ es idéntico a $\cos(x-2)$), no habrá ningún problema en ningún orden de derivación.