El problema con tu prueba es que quieres demostrar la monotonicidad para conjuntos arbitrarios, no solo una unión instanciada $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$. En cambio, creo que quieres usar la condición de aditividad contable ya que es verdadera para todas las uniones disjuntas, en lugar de primero definir una unión contable arbitraria.
En su lugar: Deja $A \subseteq B$ ser un subconjunto adecuado. Entonces $B=A \bigcup (B-A)$. Pero entonces $A \bigcap (B-A)=\emptyset$, por lo que podemos utilizar la aditividad contable.
Si $B=A$ ya hemos terminado, ya que $m(A)=m(B)$.
Así que sin pérdida de generalidad, supongamos que $A \subset B$ sea un subconjunto adecuado. Por aditividad contable:
Entonces $m(B)=m(A \bigcup (B-A))=m(A)+m(B-A)$. Dado que $m(B-A) \geq 0$, se sigue que $m(A) \leq m(B)
Tu prueba no es irrecuperable, simplemente tendrías que decir más sobre por qué tu prueba se aplica a los conjuntos en general.
editar Primero necesitamos un pequeño lema: $m(\emptyset)=0$. Primero notamos que la medida es no negativa.
Luego: deja $A_i=\emptyset$ para todo $i \in \mathbb{N}$. Entonces $$m(\emptyset)=m\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i\right)=\sum_{i \in \mathbb{N}} m(A_i)=m(\emptyset)+m(\emptyset)+m(\emptyset)+...$$ Si $m(\emptyset) \neq 0$, entonces la suma divergirá. Concluimos que $m(\emptyset)=0$.
ahora: aditividad contable $\implies$ aditividad finita.
Deja $\bigcup_{1}^{n} E_n$ ser una unión finita de conjuntos disjuntos. Define $E_{k}=\emptyset$ para todo $k>n$.
Entonces $$m(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n)= \sum_{n \in \mathbb{N}} m(E_n)=\sum_{1}^{n}m(E_n)+\sum_{n+1}^{\infty} m(E_n)=\sum_{1}^{n}m(E_n)+m(\emptyset)=\sum_{1}^{n}m(E_n)$$
